数学课堂
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几何不等式

核心概念

三角形三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边。

∣b−c∣<a<b+c.|b - c| < a < b + c.

边角对应:同一三角形中,大边对大角,大角对大边。

两条最短原理:

  • 两点之间,线段最短;折线总比连接两端的线段长;
  • 点到直线,垂线段最短:点到直线上各点的距离中,垂线段最短。

等周思想(了解):周长固定时,正三角形面积最大;面积固定时,正三角形周长最小。

直观理解 · 动手试试

几何不等式的根基是两条朴素事实:线段是两点间最短的路,以及三角形装不下"太长"的边。三角形三边关系正是前者的推论——绕道经过第三个顶点,一定比直走更远,所以两边之和大于第三边。

"大边对大角"则把边的长短和角的大小绑在一起:边越长,它所对的角张得越开。很多比较线段或角大小的题,都是在这两组关系之间来回转化。再加上"垂线段最短",处理"点到直线""折线最短"类问题就有了统一的抓手。

三角形三边关系

第三边 c 必须落在 (2, 8) 内

|a − b| < c < a + b,即 2 < c < 8: 能构成三角形
3
5
6

任意两边之和大于第三边、之差小于第三边。只有 c 落在 (|a−b|, a+b) 内,三条线段才能围成三角形。

例题 1第三边的取值范围

三角形两边长为 33 和 55,求第三边 xx 的取值范围。

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答: 2 < x < 8

例题 2大边对大角

三角形三边 a=7, b=5, c=4a=7,\ b=5,\ c=4,问最大的角是哪个?

▸查看解答步骤

答: ∠A 最大

即时练习

三角形两边为 33 和 55,第三边取整数,共有几种可能?

2<x<82<x<8,整数 3,4,5,6,73,4,5,6,7,共 55 种。

三角形两边为 44 和 66,第三边取整数,最大可能值是多少?

2<x<102<x<10,整数最大为 99。

三角形三边 a=7,b=5,c=4a=7,b=5,c=4,最大的角是?

∠A(对边 a=7)∠B(对边 b=5)∠C(对边 c=4)三个角相等

大边对大角,最大边 a=7a=7 对的 ∠A\angle A 最大。

    点到直线的所有连线中,最短的是?

    垂线段最长的那条斜线任意一条斜线与直线平行的线

    点到直线,垂线段最短。

      边长为 1,2,31, 2, 3 的三条线段能构成三角形。

      1+2=31+2=3 不大于第三边,无法构成三角形(退化)。

      易错点

      • 只验证"和大于"忘了"差小于"。 第三边范围是 ∣b−c∣<x<b+c|b-c|<x<b+c,两头都要卡。
      • 边角对应方向反。 大边对大角,不是大边对小角。
      • 退化情形当成三角形。 两边之和等于第三边时三点共线,不构成三角形。

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