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面积法

核心概念

面积法:把几何关系转化为面积的相等或比例来求解,常能绕开复杂的角度与全等推理。

两条核心工具:

常用面积公式:

S_{\triangle} = \frac12 \cdot \text{底} \cdot \text{高} = \frac12 ab\sin C.

等积变形:平行线间、同底等高的图形面积相等——"等积变换"可把图形挪到更好算的位置。

面积法的魅力是"换一种语言"。一个关于线段长度、比例的命题,翻译成面积往往瞬间变简单,因为面积有两条好用的性质:可加(整体等于部分之和)、与底成正比(等高时)。

最常用的招数是"一图两算":同一块面积,横着算一次、竖着算一次,两个表达式必然相等,等式里就藏着你要的关系。点在三角形内连三条线把它分成三块、求某条高,这类题用面积法几乎是一步到位,而纯几何推理可能要绕很大一圈。

面积法

S△ABD ∝ BD = 2

S△ADC ∝ DC = 8

两三角形同以 A 到 BC 的距离为高 ⟹ 面积比 = 2 : 8

D 的位置 (BD : DC)2 : 8

两个三角形顶点同为 A、底在同一直线上,因此等高。等高时面积之比恰等于底边之比。

例题 1同高三角形面积比

在 $\triangle ABC$ 中, $D$ 在 $BC$ 上, $BD:DC = 2:3$ 。求 $S_{\triangle ABD} : S_{\triangle ADC}$ 。

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答: S₁:S₂ = 2:3

例题 2一图两算求高

直角三角形两直角边为 $6$ 和 $8$ ,斜边为 $10$ 。求斜边上的高 $h$ 。

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答: 斜边上的高 = 4.8

直角三角形两直角边长为 $6$ 和 $8$ ,其面积是多少?

$S = \frac12\times6\times8 = 24$ 。

$\triangle ABC$ 中 $D$ 在 $BC$ 上, $BD:DC = 1:4$ ,则 $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ABC}$ 为?

1:5

1:4

4:5

1:3

等高,故 $S_{ABD}:S_{ABC} = BD:BC = 1:(1+4) = 1:5$ 。

一个三角形面积为 $30$ ,底边为 $10$ ,则这条底边上的高是多少?

$\frac12\times10\times h = 30 \Rightarrow h = 6$ 。

两个三角形如果同底等高,则面积一定相等。

$S=\frac12\cdot\text{底}\cdot\text{高}$ ,底高都相同则面积相同,与形状无关。

一个三角形底边为 $10$ ,这条底边上的高为 $6$ ,面积是多少?

$\frac12\times10\times6 = 30$ 。

$\triangle ABC$ 面积为 $50$ , $D$ 在 $BC$ 上且 $BD:DC=3:2$ ,求 $\triangle ABD$ 的面积。

等高, $S_{ABD} = \frac{3}{5}\times50 = 30$ 。

前置知识点

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接下来学习