数学课堂
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共线与共圆

核心概念

四点共圆的判定(任一成立即可):

  • 对角互补:四边形对角之和为 180∘180^\circ,则四顶点共圆;
  • 同弧同侧等角:同一条线段在它同侧张成相等的角(∠ACB=∠ADB\angle ACB = \angle ADB),则 A,B,C,DA,B,C,D 四点共圆;
  • 相交弦/割线:PA⋅PB=PC⋅PDPA\cdot PB = PC\cdot PD 成立,则四点共圆(线段乘积定理的逆)。

圆中常用角:

  • 圆周角定理:同弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对圆心角的一半;
  • 直径所对圆周角是直角(90∘90^\circ)。

共线的证明:常用"两段角拼成平角(180∘180^\circ)"或同一条线被两次确定来说明三点共线。

直观理解 · 动手试试

"四点共圆"是初中几何里极强的中间结论:一旦证出四点共圆,圆周角定理立刻把一堆看似无关的角统一起来——同弧的圆周角都相等,对角互补,角度关系瞬间打通。很多难题的关键转折,就是先想办法证明某四点共圆。

判定四点共圆的两把钥匙最常用:对角互补和同侧等角。看到"两个角对着同一条线段且相等",或"四边形对角加起来是 180∘180^\circ",就应警觉:这四个点可能在同一个圆上。证出来之后,题目往往迎刃而解。

圆周角定理

同弧所对的圆周角处处相等

ABC
无论 C 在弧上移到哪里，圆周角 ∠ACB 始终 = 65°（保持不变）
∠ACB = 65°

同一条弦 AB 在同侧张成的圆周角都相等(等于所对圆心角的一半)。这就是判定四点共圆、统一角度关系的利器。

例题 1对角互补判共圆

四边形 ABCDABCD 中,∠A=70∘, ∠C=110∘\angle A = 70^\circ,\ \angle C = 110^\circ。判断 A,B,C,DA,B,C,D 是否共圆。

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答: 四点共圆

例题 2圆周角定理求角

A,B,C,DA,B,C,D 在同一圆上,∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ,C,DC,D 在弦 ABAB 同侧。求 ∠ADB\angle ADB。

▸查看解答步骤

答: ∠ADB = 40°

即时练习

圆内接四边形 ABCDABCD 中 ∠A=70∘\angle A = 70^\circ,则 ∠C\angle C 等于多少度?

圆内接四边形对角互补,∠C=180∘−70∘=110∘\angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ。

圆中直径所对的圆周角等于多少度?

直径所对的圆周角是直角,90∘90^\circ。

若 ∠ACB=∠ADB\angle ACB = \angle ADB 且 C,DC,D 在 ABAB 同侧,则 A,B,C,DA,B,C,D 四点共圆。

同侧张成相等角是四点共圆的判定之一。

圆中一条弧所对的圆心角为 100∘100^\circ,则它所对的圆周角是多少度?

圆周角等于同弧圆心角的一半,100∘/2=50∘100^\circ/2 = 50^\circ。

圆内接四边形 ABCDABCD 中 ∠A=80∘\angle A=80^\circ,则 ∠C\angle C 等于多少度?

对角互补,∠C=180∘−80∘=100∘\angle C = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ。

圆中一段弧所对的圆心角为 60∘60^\circ,它所对的圆周角是多少度?

圆周角是圆心角的一半,30∘30^\circ。

易错点

  • 同侧/异侧没分清。 "同弧等角"要求两点在弦的同侧;异侧时是互补关系。
  • 圆周角与圆心角混。 圆周角是圆心角的一半,别用错倍数。
  • 没验证就断言共圆。 必须用一条明确的判定(对角互补、同侧等角、乘积相等)才能下结论。

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