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辅助线技巧

核心概念

辅助线:在原图中添加的线段、射线或圆,用来沟通已知与未知、构造出可用的全等或相似。常见套路:

指导思想:辅助线不是乱画,而是为了让已知条件"碰面"——把分散的条件通过新线连成一个可推理的整体。

辅助线是几何里最考验灵感的一步,但它有迹可循:缺什么,补什么。要用全等却差一组对应边,就想办法构造它;要用平行线的性质却没有平行线,就作一条;条件给了中点、中线,就往"倍长""中位线"方向想。

把辅助线理解成"为定理铺路":每个定理都有它的适用图形,当前图缺了哪一块,就用辅助线补出那一块,定理便能落地。画对一条辅助线,往往整道题豁然开朗——这正是几何的乐趣所在。

倍长中线

延长 AD 到 E (DE = AD) 构造全等,得 BE = AC。在 △ABE 中用三角形三边关系：

1 < AD < 5

AB6

AC4

遇到中线就「延长一倍」构造全等,把分散的 AB、AC 集中到一个三角形里,再用三边关系夹出 AD 的范围。

例题 1倍长中线

$\triangle ABC$ 中, $AB=6,\ AC=4$ , $AD$ 是 $BC$ 边上的中线,求 $AD$ 的取值范围。

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答: AD 的范围 1 < AD < 5

例题 2截长补短证线段和

如何证明形如 " $AB = AC + CD$ " 的线段和关系?(方法说明)

▸查看解答步骤

答: 构造全等转移线段

$\triangle ABC$ 中 $AB=6,\ AC=4$ , $BC$ 边上的中线 $AD$ 的取值范围是 $a < AD < b$ ,求 $a$ 的值。

倍长中线后 $2 < 2AD < 10$ ,即 $1 < AD < 5$ ,故 $a = 1$ 。

接上题,求 $b$ 的值。

$1 < AD < 5$ ,故 $b = 5$ 。

遇到三角形的中线,常用的辅助线技巧是?

倍长中线作内切圆连接三条高作外接圆

倍长中线可构造全等三角形,把中线问题转化。

证明 " $AB = AC + CD$ " 这类线段和关系,常用?

截长补短勾股定理面积法韦达定理

截长补短把"和差关系"化为"线段相等",再用全等证明。

$\triangle ABC$ 中 $AB=8,\ AC=4$ , $BC$ 边上中线 $AD$ 满足 $a<AD<b$ ,求下界 $a$ 。

倍长中线: $|8-4|<2AD<8+4$ ,即 $2<AD<6$ ,下界 $a=2$ 。

接上题,求上界 $b$ 。

$2<AD<6$ ,上界 $b=6$ 。

前置知识点

接下来学习