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圆幂定理

核心概念

圆幂定理:过一点 $P$ 作直线与圆相交,两交点到 $P$ 的有向距离之积是定值(称为 $P$ 关于圆的幂)。常见三种形式:

PA \cdot PB = PC \cdot PD.

PA \cdot PB = PC \cdot PD.

PT^2 = PA \cdot PB.

圆幂定理把"一个点到圆上两交点的距离之积"凝固成一个与方向无关的常数。无论你过 $P$ 怎么画割线, $PA\cdot PB$ 都不变——这背后是相似三角形:连接交点后,总能找到一对相似三角形,把两条线段的比例锁住,从而乘积相等。

切线情形是割线的极限:当割线的两个交点重合成切点 $T$ 时, $PA\cdot PB$ 就变成 $PT^2$ 。记住这三条本质是同一个定理的三种样子,遇到"圆 + 一点 + 几条交线"的题,先写出圆幂等式,往往一步沟通已知与未知。

圆幂定理

PA · PB = 40 × 120 = 4800

PC · PD = 4800

无论 P 移到哪里,两个乘积始终相等(都等于该点的圆幂)。

移动交点 P120

过 P 的两条弦,各自「近端 × 远端」的乘积相等——这是相似三角形锁定的不变量。

例题 1相交弦定理

圆内两弦 $AB,CD$ 交于点 $P$ , $PA=2,\ PB=6,\ PC=3$ ,求 $PD$ 。

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答: PD = 4

例题 2切割线定理

从圆外一点 $P$ 引切线 $PT$ 和割线,割线交圆于 $A,B$ , $PA=2,\ PB=8$ ,求切线长 $PT$ 。

▸查看解答步骤

答: PT = 4

圆内两弦交于 $P$ , $PA=2,PB=6,PC=3$ ,求 $PD$ 。

$PA\cdot PB = PC\cdot PD\Rightarrow 12 = 3PD\Rightarrow PD=4$ 。

切线长 $PT$ 满足 $PT^2 = PA\cdot PB$ , $PA=2,PB=8$ ,求 $PT$ 。

$PT^2 = 16\Rightarrow PT = 4$ 。

圆外一点的两条割线:第一条 $PA=4,PB=15$ ;第二条 $PC=6$ ,求 $PD$ 。

$PA\cdot PB = PC\cdot PD\Rightarrow 60 = 6PD\Rightarrow PD = 10$ 。

相交弦中 $PA=PB$ (即 $P$ 为弦 $AB$ 中点), $PC=4,PD=9$ ,求 $PA$ 。

$PA^2 = PC\cdot PD = 36\Rightarrow PA = 6$ 。

切割线定理 $PT^2 = PA\cdot PB$ 中, $PT$ 是?

从 P 到切点的切线长圆的半径圆的直径割线在圆内的部分

$PT$ 是过 $P$ 的切线长(切点为 $T$ ),它是割线两交点重合时的极限。

前置知识点

接下来学习