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相似与比例

核心概念

相似三角形的判定:

相似的性质:相似比为 $k$ 时,对应边之比 = $k$ ,对应高、中线、角平分线、周长之比 = $k$ ,而面积之比 = $k^2$ 。

平行线分线段成比例:一组平行线截两条直线,所得对应线段成比例。特别地, $DE \parallel BC$ 时,

\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}.

射影定理(直角三角形,斜边上的高): $h^2 = pq$ ,每条直角边是其在斜边上射影与斜边的比例中项。

相似是几何里的"放大缩小":形状不变、尺寸成比例。一旦判定两个三角形相似,所有对应边的比都被锁成同一个 $k$ ,于是"未知线段"就能用"已知线段"按比例解出——相似是把比例信息在图形之间传递的桥梁。

要特别记牢:线性的量(边、高、周长)按 $k$ 缩放,而面积是二维的,按 $k^2$ 缩放。把相似比为 $2$ 误认为面积也是 $2$ 倍,是最常见的陷阱;实际上面积变成了 $4$ 倍。

相似比 vs 面积比

对应边之比
k = 2

面积之比
k² = 4

相似比 k2

边、周长、高这些一维的量按 k 缩放,而面积是二维的,按 k² 缩放。把面积比当成 k 是最常见的陷阱。

例题 1平行截得比例

$\triangle ABC$ 中 $DE \parallel BC$ , $D$ 在 $AB$ 上, $E$ 在 $AC$ 上。已知 $AD=3,\ DB=6,\ EC=8$ ,求 $AE$ 。

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答: AE = 4

例题 2相似比与面积比

两个相似三角形的对应边之比为 $3:1$ ,求它们的面积之比。

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答: 面积比 9:1

$DE\parallel BC$ , $AD=2,\ DB=4,\ AE=2$ ,求 $EC$ 。

$\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}\Rightarrow \frac24 = \frac2{EC}\Rightarrow EC = 4$ 。

两个相似三角形的相似比为 $4:1$ ,面积比是多少比 $1$ ?

面积比 $= 4^2 = 16$ ,即 $16:1$ 。

判定两个三角形相似,下列不能单独使用的是?

两边对应成比例(不含夹角)两角对应相等(AA)三边对应成比例(SSS)两边成比例且夹角相等(SAS)

只有两边成比例、缺少夹角条件,不能判定相似。

直角三角形斜边上的高把斜边分成长 $4$ 和 $9$ 两段,求这条高。

射影定理 $h^2 = pq = 4\times9 = 36$ , $h = 6$ 。

两个相似三角形相似比为 $2:1$ ,面积比是多少比 $1$ ?

面积比 $= 2^2 = 4$ 。

$DE\parallel BC$ , $AD=2,\ DB=3,\ AE=4$ ,求 $EC$ 。

$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\Rightarrow\frac23=\frac4{EC}\Rightarrow EC=6$ 。

前置知识点

接下来学习