几何变换
核心概念
几何变换:用"运动图形"的视角解题,核心是三种保距变换(变换前后长度、角度不变):
- 平移:整体沿某方向移动固定距离,常用来"集中"分散的线段;
- 旋转:绕某定点转过一个角度,常用来构造全等、把两条相等线段对接;
- 轴对称(翻折):沿某直线翻转,常用来求"最短路径"(将军饮马)与处理对称结构。
变换的不变量:平移、旋转、轴对称都保持长度和角度,因此变换前后的两个图形全等。
解题思路:当图中有"相等线段绕公共点""需要转移角或边"的结构时,试着把一部分图形旋转或翻折到新位置,让分散的条件聚到一起。
直观理解 · 动手试试
变换法把"静态的图"看成"可以搬动的对象"。当两条相等的线段共用一个端点,把其中一条旋转到另一条上,常常能拼出等边三角形或全等三角形,把分散的边角一举集中。求折线最短时,用轴对称把折线"拉直"成一条线段——两点之间线段最短,答案立现。
记住一条总纲:保距变换不改变图形的形状大小,变换后的图与原图全等。所以你可以放心地"搬动"图形而不破坏任何长度与角度关系,只是换了个更好观察的位置而已。
在直线上找 P 使 PA + PB 最短
作 A 关于直线的对称点 A′,则 PA = PA′,于是 PA + PB = PA′ + PB ≥ A′B。当 P 在线段 A′B 上时取得最短。
正三角形 内一点 ,。说明如何用旋转求 。(思路)
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答: 旋转 60° 把 PA、PB、PC 接成一条折线
直线 同侧有两点 ,在 上找一点 使 最小。(将军饮马)
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答: 对称后连直线
即时练习
平移、旋转、轴对称都不改变图形的形状和大小。
三者都是保距变换,变换前后图形全等。
求"直线同侧两点到直线上一点的距离之和最小",应使用?
轴对称(翻折)旋转位似平移将军饮马问题用轴对称把折线拉直为线段。
正三角形内一点 满足 ,则 等于多少度?
绕 旋转 后构造出 -- 直角三角形,推得 。
图中有"两条相等线段绕一个公共端点"时,常考虑的变换是?
旋转平移放大投影旋转可把一条线段转到另一条上,构造全等或等边三角形。
将军饮马问题通过作对称点,把折线"拉直"成一条线段来求最短路径。
作对称点后 ,,折线被拉直为线段。
旋转会改变图形的大小。
旋转是保距变换,保持长度和角度,不改变大小。
易错点
- 变换后丢失对应关系。 旋转/翻折后要记清哪个点变到哪里,对应的边角才不会用错。
- 轴对称取错对称点。 将军饮马是对直线作对称,且两点须在同侧;同侧才需对称,异侧直接连线。
- 以为变换会改变长度。 保距变换严格保持长度与角度,变换前后图形全等,这正是它能转移条件的根据。