综合挑战:代数技巧

$x^2 - 4x + 7$ 的最小值是多少?

$(x-2)^2 + 3 \ge 3$,最小值 $3$。

设 $x>0$,$x + \dfrac1x$ 的最小值是多少?

均值不等式 $x+\frac1x\ge2$,等号在 $x=1$ 取得。

$a+b=8$($a,b>0$)时,$ab$ 的最大值是多少?

$ab\le(\frac{a+b}2)^2 = 16$,在 $a=b=4$ 取得。

$a+b=10$ 时,$a^2+b^2$ 的最小值是多少?

柯西:$2(a^2+b^2)\ge100$,最小值 $50$。

设 $x_1,x_2$ 是 $x^2 - 7x + 12 = 0$ 的两根,求 $x_1^2 + x_2^2$。

韦达:和 $=7$,积 $=12$。$x_1^2+x_2^2 = 7^2 - 2\times12 = 49-24 = 25$。

$|x-2| + |x-6|$ 的最小值是多少?

距离意义:$|6-2| = 4$,在 $2\le x\le6$ 取得。

方程 $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ 有几个实数解?

令 $t=x^2$:$t^2-13t+36=0\Rightarrow t=4$ 或 $9$,$x=\pm2,\pm3$,共 $4$ 个。

$x^3 - 1$ 的因式分解是?

立方差:$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$。