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基本不等式

核心概念

基本不等式(均值不等式):对任意正实数 $a, b$ ,

\frac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab},

即"算术平均 $\ge$ 几何平均",当且仅当 $a = b$ 时取等号。

等价形式:

一切的源头: $(\sqrt a - \sqrt b)^2 \ge 0$ 展开即得。这再次体现"平方非负"是不等式的总根基。

用法口诀:一正、二定、三相等——各项须为正,乘积(或和)为定值,且能取到相等。

基本不等式回答一个朴素问题:**和一定时,什么时候积最大?积一定时,什么时候和最小?**答案都是"两数相等时"。一个周长固定的矩形,面积最大的是正方形;这正是 $ab \le \left(\frac{a+b}2\right)^2$ 的几何写照。

竞赛中它最常用来求最值。看到"两个正数的乘积是定值,求它们的和的最小值"——立刻想到均值不等式,而不是去求导或配方。但务必检查"取等条件能否实现":如果相等时的取值超出了题目范围,那个下界就够不着,要另想办法。

基本不等式

a = 3，b = 7，乘积 ab = 21。离最大值 25 还差 4（a = b 时最大）。

分配 aa = 3, b = 7

周长固定的矩形中,正方形(a = b)面积最大——这正是 ab ≤ ((a+b)/2)² 的几何写照,等号在 a = b 时成立。

例题 1求和的最小值

设 $x > 0$ ,求 $x + \dfrac{4}{x}$ 的最小值。

▸查看解答步骤

答: 最小值 4，在 x=2 取得

例题 2积的最大值

已知 $a + b = 10$ , $a,b>0$ ,求 $ab$ 的最大值。

▸查看解答步骤

答: 最大值 25

设 $x>0$ , $x + \dfrac1x$ 的最小值是多少?

$x+\frac1x \ge 2\sqrt{x\cdot\frac1x} = 2$ ,等号在 $x=1$ 时取得。

设 $x>0$ , $x + \dfrac9x$ 的最小值是多少?

$x+\frac9x \ge 2\sqrt9 = 6$ ,等号在 $x=3$ 时取得。

已知 $a+b=12$ ( $a,b>0$ ),则 $ab$ 的最大值是多少?

$ab \le (\frac{a+b}2)^2 = 6^2 = 36$ ,等号在 $a=b=6$ 时取得。

基本不等式 $\frac{a+b}2 \ge \sqrt{ab}$ 的使用前提是?

a,b

均为正数

a,b

为任意实数

a > b

a,b

为整数

均值不等式要求 $a,b>0$ (否则 $\sqrt{ab}$ 可能无意义或不等式不成立)。

设 $x>0$ , $x + \dfrac{16}{x}$ 的最小值是多少?

$x+\frac{16}x \ge 2\sqrt{16} = 8$ ,等号在 $x=4$ 取得。

$a+b=14$ ( $a,b>0$ )时, $ab$ 的最大值是多少?

$ab\le(\frac{a+b}2)^2 = 7^2 = 49$ ,在 $a=b=7$ 取得。

前置知识点

接下来学习