数学课堂
进阶≈ 15 分钟未开始

换元法

核心概念

换元法:用一个新字母代替式子中反复出现的复杂部分,把问题转化成更简单、更熟悉的形式;求解后再回代还原。

常见换元类型:

  • 整体换元:令 t=t = 某个重复出现的整体(如 t=x2+xt = x^2+x);
  • 对称换元:对对称式令 s=x+y, p=xys = x+y,\ p = xy,利用 x2+y2=s2−2px^2+y^2 = s^2-2p 等关系;
  • 均值换元:对 a+b=a+b= 定值的对象,令 a=m+t, b=m−ta = m+t,\ b = m-t。

关键纪律:换元后必须注意新变量的取值范围,求解完成后必须回代检验。

直观理解 · 动手试试

换元的精神是"给复杂的东西起个名字"。当一个庞大的表达式反复出现,盯着它做运算既慢又容易错;把它整体记作 tt,方程立刻瘦身成你熟悉的一元二次,解完再翻译回去即可。

对称换元尤其漂亮:任何关于 x,yx,y 的对称式都能用"和 s=x+ys=x+y"与"积 p=xyp=xy"表达,于是两个未知数被压缩成两个更有结构的量。这正是韦达定理大显身手的舞台。

换元法

令 t = x²，高次方程瞬间瘦身

原方程(关于 x)
x⁴ − 5x² + 4 = 0
换元后(关于 t)
？

把反复出现的 x² 整体记作 t，四次方程变成熟悉的一元二次。解完别忘记回代，并注意 t = x² ≥ 0。

例题 1整体换元解高次方程

解方程 (x2)2−5x2+4=0(x^2)^2 - 5x^2 + 4 = 0。

▸查看解答步骤

答: x=±1 或 ±2

例题 2对称换元

已知 x+y=5, xy=6x+y = 5,\ xy = 6,求 x2+y2x^2 + y^2。

▸查看解答步骤

答: x²+y²=13

即时练习

设 t=x+1xt = x + \dfrac1x。已知 x+1x=3x + \dfrac1x = 3,求 x2+1x2+2x^2 + \dfrac1{x^2} + 2。

x2+1x2=(x+1x)2−2=9−2=7x^2+\frac1{x^2} = (x+\frac1x)^2 - 2 = 9-2 = 7,再加 22 得 99。

已知 x+y=3, xy=1x+y=3,\ xy=1,求 x2+y2x^2+y^2。

x2+y2=(x+y)2−2xy=32−2×1=9−2=7x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3^2 - 2\times1 = 9 - 2 = 7。

解 x4−13x2+36=0x^4 - 13x^2 + 36 = 0 时,合适的换元是?

令 t=x2t = x^2令 t=x4t = x^4令 t=x+1xt = x+ \tfrac1x令 t=13xt = 13x

方程是关于 x2x^2 的二次式,令 t=x2t=x^2 最自然。

    换元 t=x2t = x^2 后,必须保证 t≥0t \ge 0。

    x2x^2 恒非负,所以新变量 tt 的取值范围是 t≥0t\ge0,负根要舍去。

    方程 x4−5x2+4=0x^4 - 5x^2 + 4 = 0 有几个实数解?

    令 t=x2t=x^2:t2−5t+4=0⇒t=1t^2-5t+4=0\Rightarrow t=1 或 44,x=±1,±2x=\pm1,\pm2,共 44 个。

    已知 x+1x=4x + \dfrac1x = 4,求 x2+1x2x^2 + \dfrac1{x^2}。

    (x+1x)2=x2+1x2+2=16(x+\frac1x)^2 = x^2+\frac1{x^2}+2 = 16,故 x2+1x2=14x^2+\frac1{x^2} = 14。

    易错点

    • 换元后忘记回代。 求出的是新变量的值,必须翻译回原变量。
    • 忽略新变量的范围。 如 t=x2t=x^2 时 t<0t<0 的解无效;t=x+1xt = x+\frac1x 时 ∣t∣≥2|t|\ge2(x>0x>0)。
    • 对称换元用错恒等式。 x2+y2=s2−2px^2+y^2 = s^2 - 2p,别漏掉那个 −2p-2p。

    下一步