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柯西不等式入门

核心概念

柯西不等式(二元形式):对任意实数 $a,b,c,d$ ,

(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \ge (ac + bd)^2,

等号当且仅当 $ad = bc$ (即两组成比例)时成立。

一般形式:

\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \ge \left(\sum a_i b_i\right)^2.

分式形式(Engel / Titu):对正数 $x_i$ ,

\frac{a_1^2}{x_1} + \frac{a_2^2}{x_2} + \cdots + \frac{a_n^2}{x_n} \ge \frac{(a_1 + a_2 + \cdots + a_n)^2}{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}.

柯西不等式是均值不等式的"升级版",专门处理两组数的搭配。它的一句话理解是:两个平方和的乘积,总不小于它们"对应相乘再相加"的平方。等号只在两组数成比例时出现——这也是求最值时"取等条件"的来源。

分式形式尤其实用:遇到 $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}$ 这种"平方除以正数再求和",直接把分子开方相加、分母相加,一步得到下界。竞赛里许多看似复杂的不等式,套上柯西就瞬间化简——它是把"乘积、平方、求和"三者联系起来的桥梁。

柯西不等式

3²

7²

a² + b² = 9 + 49 = 58。最小值 50(在 a = b 时),现在还差 8。

分配 aa = 3, b = 7

由柯西 2(a²+b²) ≥ (a+b)² = 100,得 a²+b² ≥ 50。和固定时,两数越接近,平方和越小,相等时最小。

例题 1用柯西求最小值

已知 $a + b = 10$ ,求 $a^2 + b^2$ 的最小值。

▸查看解答步骤

答: 最小值 50

例题 2分式形式

设 $x, y > 0$ 且 $x + y = 2$ ,证明 $\dfrac{4}{x} + \dfrac{4}{y} \ge 8$ 。

▸查看解答步骤

答: ≥ 8

$a+b=10$ 时, $a^2+b^2$ 的最小值是多少?

$2(a^2+b^2)\ge(a+b)^2=100$ ,故 $a^2+b^2\ge50$ ,在 $a=b=5$ 取得。

$a+b=6$ 时, $a^2+b^2$ 的最小值是多少?

$2(a^2+b^2)\ge36$ ,故最小值 $18$ ( $a=b=3$ )。

柯西不等式 $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$ 的等号条件是?

ad = bc

a = b

ac = bd

a+b=c+d

等号当两组数成比例,即 $\frac ac=\frac bd$ ,等价于 $ad=bc$ 。

$x,y>0,\ x+y=2$ ,求 $\dfrac4x+\dfrac4y$ 的最小值。

$\frac{2^2}x+\frac{2^2}y\ge\frac{(2+2)^2}{x+y}=\frac{16}2=8$ ,在 $x=y=1$ 取得。

对任意实数, $2(a^2+b^2)\ge(a+b)^2$ 恒成立。

即 $(a-b)^2\ge0$ 展开,也可由柯西得到,恒成立。

前置知识点

接下来学习