数学课堂
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配方法与非负思想

核心概念

配方法:把二次式凑成 完全平方 + 常数 的形式:

ax2+bx+c=a(x+b2a)2+(c−b24a).ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \frac{b^2}{4a}\right).

非负性(竞赛核心武器):对任意实数,

(实数)2≥0,(\text{实数})^2 \ge 0,

当且仅当里面为 00 时取等。多个平方相加为 00,则每个平方都必须为 00。

典型用途:

  • 求二次式的最值(开口向上有最小值,向下有最大值);
  • 证明形如 A2+B2+⋯≥0A^2 + B^2 + \cdots \ge 0 的不等式;
  • 由"几个平方和为 00"反解出多个未知数的值。

直观理解 · 动手试试

配方法的威力来自一句话:平方永远非负。一旦把式子整理成若干平方之和,它的符号和最值几乎一目了然——平方部分最小是 00,剩下的常数就决定了整个式子的底线。

这也是为什么"和为 00 的多个平方"如此好用:正数加正数不可能等于 00,所以每一项都被逼成 00,一道方程瞬间裂成几个简单方程。竞赛里很多"求 x,yx,y 的值"的题,表面是一个方程两个未知数(看似不定),配方后却唯一确定。

配方法

y = (x − 2)² + (-1)

顶点 (2, -1)：因为 (x−2)² ≥ 0， 所以最小值就是 -1，在 x = 2 处取得。
2
-1

配方就是把二次式写成「完全平方 + 常数」。平方部分最小为 0，剩下的常数 k 就是整个式子的最小值。

例题 1求最小值

求 y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 的最小值。

▸查看解答步骤

答: 最小值 -1，在 x=2 取得

例题 2平方和为零反解未知数

已知 x2+y2−2x+4y+5=0x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 0,求 x,yx,y。

▸查看解答步骤

答: x=1, y=-2

即时练习

x2+4xx^2 + 4x 的最小值是多少?

x2+4x=(x+2)2−4≥−4x^2+4x = (x+2)^2 - 4 \ge -4,最小值 −4-4。

已知 (x−3)2+(y+1)2=0(x-3)^2 + (y+1)^2 = 0,则 xx 等于多少?

两平方和为 00 须各自为 00,故 x=3x=3。

x2−6x+11x^2 - 6x + 11 的取值范围是?

≥2\ge 2≥0\ge 0≥11\ge 11所有实数

x2−6x+11=(x−3)2+2≥2x^2-6x+11 = (x-3)^2 + 2 \ge 2。

    对任意实数 xx,都有 x2−x+1>0x^2 - x + 1 > 0。

    x2−x+1=(x−12)2+34≥34>0x^2-x+1 = (x-\tfrac12)^2 + \tfrac34 \ge \tfrac34 > 0,恒正。

    x2+6x+10x^2 + 6x + 10 的最小值是多少?

    (x+3)2+1≥1(x+3)^2 + 1 \ge 1,最小值 11。

    x2−2x+5x^2 - 2x + 5 的最小值是多少?

    (x−1)2+4≥4(x-1)^2 + 4 \ge 4,最小值 44。

    易错点

    • 配方时漏乘系数。 当二次项系数不是 11,要先提取系数再配方,如 2x2+4x=2(x+1)2−22x^2+4x = 2(x+1)^2 - 2。
    • 加项不减回去。 配方是"凑出平方所需的项加上后,必须减掉同样的量",否则改变了原式。
    • 忘记验证取等条件。 说明最值时要指出在哪个 xx 处取得,否则只证明了"不小于"而非"最小值"。

    下一步

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