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韦达定理及其应用

核心概念

韦达定理(根与系数的关系):设一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a\neq0$ )的两根为 $x_1, x_2$ ,则

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}.

配套工具——判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ :

$\Delta > 0$ :两个不相等的实根;
$\Delta = 0$ :两个相等实根;
$\Delta < 0$ :无实根。

对称式速算(常用):

x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2,\qquad \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}.

直观理解 · 动手试试

韦达定理的妙处是:不必解出根,就能知道关于根的对称信息。很多题目问的是 $x_1^2+x_2^2$ 、 $\frac1{x_1}+\frac1{x_2}$ 、 $(x_1-x_2)^2$ 这类关于两根的对称量,它们全都能由"两根之和"与"两根之积"组合出来——而这两个量直接读系数即可,根本不用动用求根公式。

反过来,如果你知道了一对数的和与积,就能立刻反向"造"出以它们为根的方程 $x^2 - (\text{和})x + (\text{积}) = 0$ 。这种正反两用,使韦达定理成为代数题里出现频率极高的桥梁。

韦达定理

由两根反推方程

两根之和
x₁ + x₂ = 4

两根之积
x₁ · x₂ = 3

x² − 4x + 3 = 0

即 x² − (和)x + (积) = 0，两根为 1 和 3

根 x₁1

根 x₂3

和与积直接读出系数：和 = −b/a，积 = c/a。知道两根就能立刻写出方程,反之亦然。

例题 1不解方程求对称式

设 $x_1, x_2$ 是 $x^2 - 4x + 3 = 0$ 的两根,求 $x_1^2 + x_2^2$ 。

▸查看解答步骤

答: x₁²+x₂²=10

例题 2由根构造方程

求一个以 $2$ 和 $3$ 为根的一元二次方程。

▸查看解答步骤

答: x²-5x+6=0

即时练习

方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$ 的两根之和等于多少?

$x_1+x_2 = -b/a = -5$ 。

方程 $x^2 + 5x + 6 = 0$ 的两根之积等于多少?

$x_1x_2 = c/a = 6$ 。

方程 $x^2 - 2x + 5 = 0$ 的判别式 $\Delta$ 和根的情况是?

\Delta = -16

,无实根

\Delta = 16

,两不等实根

\Delta = 0

,两相等实根

\Delta = 24

,两不等实根

$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4-20 = -16 < 0$ ,无实根。

设 $x_1,x_2$ 是 $x^2 - 3x + 2 = 0$ 的两根,求 $x_1^2 + x_2^2$ 。

$x_1+x_2 = 3,\ x_1x_2 = 2$ ,故 $x_1^2+x_2^2 = 3^2 - 2\times2 = 9 - 4 = 5$ 。

方程 $x^2 - 6x + 8 = 0$ 的两根之和是多少?

$x_1+x_2 = -(-6)/1 = 6$ 。

方程 $x^2 - 6x + 8 = 0$ 的两根之积是多少?

$x_1x_2 = 8/1 = 8$ 。

易错点

和的符号弄反。 两根之和是 $-\dfrac{b}{a}$ ,带负号;两根之积是 $+\dfrac{c}{a}$ 。
忘了 $a$ 。 当二次项系数不是 $1$ ,和与积都要除以 $a$ 。
不验证判别式。 用韦达定理前最好确认 $\Delta\ge0$ (确有实根),否则讨论"两实根"无意义。

下一步

前置知识点

换元法

接下来学习

基本不等式