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绝对值与零点分段

核心概念

绝对值:

|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0. \end{cases}

几何意义: $|x-a|$ 表示数轴上点 $x$ 到点 $a$ 的距离; $|x-a|+|x-b|$ 表示 $x$ 到 $a$ 和 $b$ 两点的距离之和。

零点分段法:解含多个绝对值的方程/不等式时,先找出各绝对值的零点(使内部为 $0$ 的 $x$ ),用它们把数轴分成若干段,在每一段内去掉绝对值符号(确定正负)后求解。

最值技巧: $|x-a|+|x-b|$ 的最小值是 $|a-b|$ ,当 $x$ 落在 $a,b$ 之间(含端点)时取得。

绝对值的难处在于它"分情况":同一个 $|x-a|$ ,在 $a$ 左边和右边展开方式相反。零点分段法把这种麻烦系统化——零点是符号翻转的分界,把数轴切成几段后,每一段里所有绝对值都"现出原形",方程就退化成普通的一次式。

而用距离的眼光看,很多绝对值最值题立刻变直观: $|x-1|+|x-3|$ 就是"到 $1$ 和到 $3$ 的距离之和",站在 $1$ 与 $3$ 之间时这个和最小,正好等于两点间距离 $2$ 。几何直觉 + 分段计算,是攻克绝对值的两把钥匙。

绝对值 · 距离

|x−1| + |x−3| = 1 + 3 = 4。把 x 移到 [1, 3] 区间内即达最小值 2。

移动 xx = 0

绿、红线段分别是 x 到 1、到 3 的距离。当 x 落在两点之间,两段拼成整段,和最小,等于两点距离 2。

例题 1零点分段解方程

解方程 $|x-1| + |x-3| = 4$ 。

▸查看解答步骤

答: x = 0 或 x = 4

例题 2绝对值和的最小值

求 $|x-1| + |x-3|$ 的最小值。

▸查看解答步骤

答: 最小值 2

$|{-5}|$ 等于多少?

$|-5| = 5$ 。

$|x-1| + |x-3|$ 的最小值是多少?

等于两点距离 $|3-1| = 2$ ,在 $1\le x\le3$ 时取得。

$|x-2| + |x+2|$ 的最小值是多少?

零点 $2$ 和 $-2$ ,最小值 $|2-(-2)| = 4$ 。

解 $|x-1|+|x-3|=4$ 的解集是?

\{0, 4\}

\{1, 3\}

\{2\}

\{-4, 4\}

分段求解得 $x=0$ 或 $x=4$ 。

$|x-1|+|x-3|+|x-5|$ 的最小值是多少?

奇数个绝对值的最小值在中位数 $x=3$ 取得: $|3-1|+|3-3|+|3-5| = 2+0+2 = 4$ 。

前置知识点

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接下来学习