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加法原理与乘法原理

核心概念

加法原理(分类计数):完成一件事有 $n$ 类办法,彼此不重叠,第 $i$ 类有 $m_i$ 种方法,则总方法数为

m_1 + m_2 + \cdots + m_n.

乘法原理(分步计数):完成一件事需要连续 $n$ 步,第 $i$ 步有 $m_i$ 种方法,则总方法数为

m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_n.

判断口诀:分类用加、分步用乘。把一件事拆成"几类各自独立"就相加;拆成"一步接一步缺一不可"就相乘。

两条原理的分界,在于你拆解任务的方式。

很多计数题的第一步,就是判断"这是分类还是分步",或者先分类、每类内再分步。判断准了,题目就成功一半。

乘法原理

分两步,缺一不可 ⟹ 用乘法原理： 3 × 4 = 12 条不同路线

甲→乙路数3

乙→丙路数4

每条「甲→乙」都能接上每条「乙→丙」——分步搭配,方法数相乘。若是「或」的分类选择,则改为相加。

例题 1分步:乘法原理

从甲地到乙地有 $3$ 条路,从乙地到丙地有 $4$ 条路。从甲地经乙地到丙地共有几种走法?

▸查看解答步骤

答: 12 种

例题 2先分类再分步

用数字 $1,2,3,4,5$ 组成无重复数字的两位偶数,共有几个?

▸查看解答步骤

答: 8 个

书架上有 $7$ 本数学书和 $8$ 本物理书。从中任取一本,有多少种取法?

分类(取数学或取物理): $7 + 8 = 15$ 种。

要从 $7$ 本数学书中取一本、 $8$ 本物理书中取一本,各取一本,有多少种取法?

分步: $7 \times 8 = 56$ 种。

用数字 $1,2,3,4,5$ 组成无重复数字的两位偶数,有多少个?

个位为偶( $2$ 或 $4$ ), $2$ 种;十位从余下 $4$ 个里选, $4$ 种。共 $2\times4 = 8$ 个。

"完成一件事必须连续做完几个步骤"应使用?

乘法原理加法原理两者都不用先加后减

分步用乘法原理:各步方法数相乘。

$3$ 件上衣和 $4$ 条裤子搭配,有多少种穿法?

分步相乘: $3\times4 = 12$ 。

从 $4$ 本小说或 $5$ 本漫画中任取一本,有几种取法?

分类相加: $4+5 = 9$ 。

前置知识点

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接下来学习