综合挑战:组合数学

$7$ 本数学书和 $8$ 本物理书,任取一本,有几种取法?

分类相加:$7+8 = 15$。

从 $7$ 本数学书和 $8$ 本物理书中各取一本,有几种取法?

分步相乘:$7\times8 = 56$。

从 $8$ 人中选 $2$ 人组成一个无分工的小组,有几种选法?

组合 $C_8^2 = 28$。

从 $5$ 人中选出正、副组长各一名,有几种方案?

有分工,用排列 $A_5^2 = 5\times4 = 20$。

至少要多少人,才能保证必有两人出生在同一个月?

抽屉原理:$12$ 个月,需 $12+1 = 13$ 人。

$|A|=30,\ |B|=25,\ |A\cap B|=20$,求 $|A\cup B|$。

$30+25-20 = 35$。

$5$ 元集合有多少个子集?

$2^5 = 32$。

从 $(0,0)$ 向右/向上走到 $(3,3)$ 的最短路径有几条?

$C_6^3 = 20$。