数学课堂
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排列与组合

核心概念

阶乘:n!=n×(n−1)×⋯×2×1n! = n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1,规定 0!=10! = 1。

排列(有序):从 nn 个不同元素中取出 mm 个排成一列,方法数为

Anm=n!(n−m)!=n(n−1)⋯(n−m+1).A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!} = n(n-1)\cdots(n-m+1).

组合(无序):从 nn 个不同元素中取出 mm 个组成一组(不计顺序),方法数为

Cnm=Anmm!=n!m! (n−m)!.C_n^m = \frac{A_n^m}{m!} = \frac{n!}{m!\,(n-m)!}.

常用性质:Cnm=Cnn−mC_n^m = C_n^{n-m},以及 Cn0=Cnn=1C_n^0 = C_n^n = 1。

直观理解 · 动手试试

排列与组合的唯一区别是:顺序算不算数。

  • 选班长、副班长 —— 张当班长李当副,和李当班长张当副是两种结果,顺序有意义,用排列。
  • 选两名值日生 —— 选到张和李,不管先点谁名字都是同一对,顺序无意义,用组合。

记住一条换算:组合就是"先排列、再除以内部的排法数 m!m!",因为同一组 mm 个元素内部有 m!m! 种排序,在组合里它们被算成了一种。这就是 Cnm=Anm/m!C_n^m = A_n^m / m! 的由来。

排列 vs 组合

从 5 个中取 2 个

排列（有顺序）
A52 = 20
组合（无顺序）
C52 = 10
C = A ÷ 2! = 20 ÷ 2 = 10
同一组 2 个元素内部有 2 种排序,在组合里算作一种
5
2

顺序算不算数,是排列与组合的唯一区别。组合 = 排列 ÷ m!,因为内部的 m! 种排序被算成同一组。

例题 1排列:有顺序

从 55 名同学中选 22 名,分别担任班长和学习委员,有几种方案?

▸查看解答步骤

答: A₅²=20

例题 2组合:无顺序

从 55 名同学中选 22 名参加同一项活动,有几种方案?

▸查看解答步骤

答: C₅²=10

即时练习

5!5! 等于多少?

5!=5×4×3×2×1=1205! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120。

C82C_8^2 等于多少?

C82=8×72×1=562=28C_8^2 = \dfrac{8\times7}{2\times1} = \dfrac{56}{2} = 28。

C42C_4^2 等于多少?

C42=4×32×1=6C_4^2 = \dfrac{4\times3}{2\times1} = 6。

"从 1010 人中选 33 人组成一个委员会(无职务区分)"应使用?

组合 C103C_{10}^3排列 A103A_{10}^310310^33103^{10}

委员会成员无顺序,用组合 C103=120C_{10}^3 = 120。

    C62C_6^2 等于多少?

    6×52=15\frac{6\times5}{2} = 15。

    A42A_4^2 等于多少?

    A42=4×3=12A_4^2 = 4\times3 = 12。

    易错点

    • 该用组合却用了排列。 只要结果与顺序无关,就用组合,否则会把同一组重复计数 m!m! 次。
    • 阶乘约分出错。 n!(n−m)!\dfrac{n!}{(n-m)!} 实际只剩 mm 个连乘因子,别把整个阶乘都展开。
    • 忘记 Cnm=Cnn−mC_n^m = C_n^{n-m}。 算 C10098C_{100}^{98} 时换成 C1002C_{100}^2 更省事。

    下一步

    接下来学习