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二项式定理与杨辉三角

核心概念

二项式定理:

(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k\, a^{\,n-k} b^{\,k} = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \cdots + C_n^n b^n.

第 $k+1$ 项(通项)为 $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$ 。

杨辉三角(帕斯卡三角):第 $n$ 行的数恰是 $C_n^0, C_n^1, \dots, C_n^n$ ,且满足

C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^{k}\quad(\text{每个数等于上方两数之和}).

两个常用求和:

\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n,\qquad \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0\ (n\ge1).

二项式定理回答" $(a+b)^n$ 展开后每一项的系数是多少"。展开就是从 $n$ 个括号里各选一个 $a$ 或 $b$ 相乘;要得到 $a^{n-k}b^k$ ,就是从 $n$ 个括号中选 $k$ 个出 $b$ ,方法数正是 $C_n^k$ 。所以组合数天然就是二项式系数。

杨辉三角把这些系数排成漂亮的三角形:每个数是它上方两数之和,正对应组合恒等式 $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ (选第 $n$ 个元素或不选)。而"整行求和等于 $2^n$ ",其实就是 $n$ 元集合的子集总数——每个元素选或不选,共 $2^n$ 种。

杨辉三角

121

1331

14641

第 4 行各数之和 = 16 = 2⁴

也就是 4 元集合的子集总数

行号 n4

每个数等于上方两数之和(组合恒等式),第 n 行恰是 (a+b)ⁿ 的系数,整行之和总是 2ⁿ。

例题 1展开三次方

展开 $(a+b)^3$ 。

▸查看解答步骤

答: a³+3a²b+3ab²+b³

例题 2求指定项系数

求 $(1+x)^5$ 展开式中 $x^2$ 的系数。

▸查看解答步骤

答: 10

杨辉三角第 $4$ 行(即 $(a+b)^4$ 的系数)所有数之和是多少?

$\sum_k C_4^k = 2^4 = 16$ 。

$(1+x)^5$ 展开式中 $x^2$ 的系数是多少?

$C_5^2 = 10$ 。

$(a+b)^4$ 展开式中 $a^2b^2$ 的系数是多少?

$C_4^2 = \frac{4\times3}{2} = 6$ 。

一个含 $5$ 个元素的集合有多少个子集?

$\sum_k C_5^k = 2^5 = 32$ 。

杨辉三角中,每个数等于它上方相邻两数之和。

即组合恒等式 $C_n^k = C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ 。

前置知识点

接下来学习