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真题精选 · 代数

核心概念

本套精选代数方向的竞赛风格真题,覆盖因式分解、配方与非负思想、换元、韦达定理、均值与柯西不等式、绝对值。

应试提示:代数题的胜负在于变形方向——求最值想配方/均值,关于两根的对称式想韦达,高次想换元,含绝对值想距离或分段。下笔前先想"我要把它变成什么样子"。

竞赛代数常常"一题多变形",但底层套路有限。把目标式往"完全平方""乘积结构""和与积"这几个方向靠,大多数题都会显出突破口。注意每一步保持恒等,并在求最值时验证取等条件。

已知 $x + \dfrac1x = 3$ ,求 $x^2 + \dfrac1{x^2}$ 。

$(x+\tfrac1x)^2 = x^2+\tfrac1{x^2}+2 = 9$ ,故 $x^2+\tfrac1{x^2}=7$ 。

设 $x_1,x_2$ 是 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两根,求 $x_1^3 + x_2^3$ 。

和 $=5$ ,积 $=6$ 。 $x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)=125-3\cdot6\cdot5=125-90=35$ 。

已知 $a+b=5,\ ab=6$ ,求 $a^2+b^2$ 。

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=25-12=13$ 。

$x^2 - 6x + 13$ 的最小值是多少?

$(x-3)^2+4\ge4$ ,最小值 $4$ 。

实数 $x,y$ 满足 $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$ ,求 $x+y$ 。

配方 $(x-2)^2+(y+3)^2=0$ ,故 $x=2,\ y=-3$ , $x+y=-1$ 。

$|x-3| + |x+2|$ 的最小值是多少?

几何意义为到 $3$ 与 $-2$ 的距离和,最小值 $|3-(-2)|=5$ 。

设 $x>0$ , $x + \dfrac9x$ 的最小值是多少?

$x+\tfrac9x\ge2\sqrt9=6$ ,等号在 $x=3$ 取得。

$x^4 + 4$ 的因式分解是?

(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)

(x^2+2)^2

(x^2-2)(x^2+2)

不可分解

添项法: $x^4+4=(x^2+2)^2-(2x)^2=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$ 。

前置知识点

接下来学习