K12 数学课堂 · EasyLearning

核心概念

本套精选数论方向的竞赛风格真题(题型取自华杯赛、希望杯、全国初中数学联赛等常见考法),覆盖整除、同余、质因数分解、欧拉函数、中国剩余定理与平方数性质。

应试提示:数论大题先问自己两件事——该取哪个模?该怎么分解? 把大数放进合适的模、把整数拆成质因数,往往一步打开局面。

竞赛数论的得分点,常常不在繁琐计算,而在选对工具。看到"大幂求余"想费马/欧拉,看到"多个余数条件"想中国剩余定理,看到"能否为某种数"想模 $4$ 、模 $3$ 排除。下面的题刻意混合多种考法,练习快速识别。

$1$ 到 $100$ 中,与 $100$ 互质的正整数有多少个?

$100=2^2\cdot5^2$ , $\varphi(100)=100\left(1-\tfrac12\right)\left(1-\tfrac15\right)=100\cdot\tfrac12\cdot\tfrac45=40$ 。

$2^{100}$ 除以 $7$ 的余数是多少?

$2^3=8\equiv1\pmod7$ , $100=3\times33+1$ ,故 $2^{100}\equiv2^1=2\pmod7$ 。

一个正整数除以 $5$ 余 $3$ ,除以 $7$ 余 $4$ ,这样的最小正整数是多少?

设 $x=7k+4$ : $4,11,18,\dots$ ,其中 $18\equiv3\pmod5$ 。故最小为 $18$ 。

$100$ 到 $999$ 的三位数中,能被 $7$ 整除的有多少个?

最小 $105=7\times15$ ,最大 $994=7\times142$ ,共 $142-15+1=128$ 个。

$1! + 2! + 3! + \cdots + 10!$ 的个位数字是多少?

$5!$ 及以后个位都是 $0$ ;前四项个位 $1+2+6+4=13$ ,个位为 $3$ 。

最小的正整数 $n$ ,使得 $n!$ 能被 $100$ 整除,是多少?

$100=2^2\cdot5^2$ ,需要 $n!$ 含两个因数 $5$ 。 $10!$ 中 $5$ 与 $10$ 各贡献一个 $5$ ,故 $n=10$ 。

存在一个完全平方数,除以 $4$ 的余数为 $2$ 。

平方数模 $4$ 只能是 $0$ 或 $1$ ,不可能是 $2$ 。

$2^{2024}$ 的个位数字是多少?

$2$ 的个位以 $2,4,8,6$ 为周期( $4$ )。 $2024\equiv0\pmod4$ ,对应周期中的第 $4$ 个,即 $6$ 。