综合挑战:数论

$100$ 除以 $7$ 的余数是多少?

$7\times14 = 98$,$100 - 98 = 2$。

$\gcd(48, 36)$ 等于多少?

$48=2^4\cdot3,\ 36=2^2\cdot3^2$,取较低次幂 $2^2\cdot3 = 12$。

$36$ 有多少个正约数?

$36=2^2\cdot3^2$,$d(36)=(2+1)(2+1)=9$。

$2^{100}$ 除以 $7$ 的余数是多少?

费马小定理 $2^6\equiv1\pmod7$,$100\equiv4\pmod6$,$2^4=16\equiv2$。

$1$ 到 $100$ 中能被 $3$ 或 $5$ 整除的数有几个?

被 $3$:$33$;被 $5$:$20$;被 $15$:$6$。$33+20-6 = 47$。

二进制 $(1011)_2$ 等于十进制几?

$8+2+1 = 11$。

对任意整数 $a$,$a^5 - a$ 一定能被 $5$ 整除。

费马小定理 $a^5\equiv a\pmod5$,故 $5\mid(a^5-a)$。

方程 $6x + 9y = 20$ 有整数解。

$\gcd(6,9)=3$,$3\nmid20$,无整数解。