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质数与算术基本定理

核心概念

质数(素数):大于 $1$ 且只有 $1$ 和它本身两个正约数的整数,如 $2,3,5,7,11,\dots$ 。 $2$ 是唯一的偶质数。

合数:大于 $1$ 且除 $1$ 和自身外还有别的正约数的整数。 $1$ 既不是质数也不是合数。

算术基本定理(唯一分解定理):每个大于 $1$ 的整数 $n$ 都能唯一地写成质因数的乘积(不计顺序):

n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k},

其中 $p_1 < p_2 < \cdots < p_k$ 是质数, $a_i$ 是正整数。

由标准分解可读出:

质数是整数世界的"原子":任何整数都由质数相乘搭建而成,而且搭法唯一。这就是为什么数论问题常常一上来就先做质因数分解——把数拆成原子,结构立刻清晰。

约数个数公式的来历也很直观:要凑一个 $n$ 的约数,对每个质数 $p_i$ ,你可以选它出现 $0,1,2,\dots,a_i$ 次,共 $a_i+1$ 种选择;各质数独立相乘,就是乘法原理。

质因数分解

360 = 2³ × 3² × 5

正约数个数 = (3+1) × (2+1) × (1+1) = 24 个

选一个数 n360

拖动滑块换一个数。每个数的质因数分解都是唯一的；约数个数等于每个指数加一后相乘。

例题 1判断质数只需试到平方根

判断 $211$ 是否为质数。

▸查看解答步骤

答: 211 是质数

例题 2用分解求约数个数

求 $360$ 的正约数个数。

▸查看解答步骤

答: d(360)=24

$72 = 2^3 \times 3^2$ 。它有多少个正约数?

$d(72) = (3+1)(2+1) = 4\times 3 = 12$ 。

下列哪个数是质数?

97

91

87

1

$91 = 7\times 13$ , $87 = 3\times 29$ , $1$ 不是质数; $97$ 没有不超过 $\sqrt{97}<10$ 的质因数,是质数。

$2^5$ 有多少个正约数?

$d(2^5) = 5+1 = 6$ ,即 $1,2,4,8,16,32$ 。

$1$ 是最小的质数。

最小的质数是 $2$ 。 $1$ 只有一个正约数,既不是质数也不是合数。

$100$ 有多少个正约数?

$100 = 2^2\times5^2$ , $d(100)=(2+1)(2+1)=9$ 。

最小的两位质数是多少?

$10$ 是合数, $11$ 没有不超过 $\sqrt{11}$ 的质因数,是最小两位质数。

前置知识点

接下来学习