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进位制

核心概念

$b$ 进制:用 $0,1,\dots,b-1$ 这 $b$ 个数字,按"逢 $b$ 进一"记数。一个 $b$ 进制数

(\,d_k d_{k-1}\cdots d_1 d_0\,)_b = d_k b^k + d_{k-1}b^{k-1} + \cdots + d_1 b + d_0.

$b$ 进制 → 十进制:按位乘以 $b$ 的幂再相加(上式)。

十进制 → $b$ 进制:不断除以 $b$ 取余,余数逆序排列。

常见进制:二进制( $b=2$ )、八进制( $b=8$ )、十六进制( $b=16$ ,用 $A$ – $F$ 表示 $10$ – $15$ )。

进位制的本质是"用幂次打包数量"。十进制里 $345 = 3\times100 + 4\times10 + 5$ ,每一位代表 $10$ 的某个幂;换成 $b$ 进制,只是把"打包的单位"从 $10$ 换成 $b$ 。

十进制转 $b$ 进制为什么是"除 $b$ 取余、逆序"?因为每除一次 $b$ ,就剥下最低位的余数(个位),商继续往高位剥。最先剥下的是最低位,所以要倒着写。二进制尤其重要:它只有 $0$ 和 $1$ ,是计算机和许多组合问题(如子集计数、称重问题)的天然语言。

进位制

13 ÷ 2 = 6 ······ 余 1

6 ÷ 2 = 3 ······ 余 0

3 ÷ 2 = 1 ······ 余 1

1 ÷ 2 = 0 ······ 余 1

余数逆序读出:13₍₁₀₎ = 1101₍₂₎

十进制数 n13

目标进制 b2

不断除以 b 取余,商继续往下除;最后把余数从下往上(逆序)拼起来,就是 b 进制表示。

例题 1十进制转二进制

把十进制 $13$ 化为二进制。

▸查看解答步骤

答: 13 = (1101)₂

例题 2二进制转十进制

把二进制 $(10110)_2$ 化为十进制。

▸查看解答步骤

答: (10110)₂ = 22

二进制 $(1011)_2$ 等于十进制几?

$8+0+2+1 = 11$ 。

二进制 $(10110)_2$ 等于十进制几?

$16+4+2 = 22$ 。

十进制 $13$ 的二进制表示是(直接填这个由 0/1 组成的数)?

$13 = 8+4+1 = (1101)_2$ ,作为数填 $1101$ 。

八进制 $(23)_8$ 等于十进制几?

$2\times8 + 3 = 19$ 。

十进制转 $b$ 进制时,把每次除以 $b$ 的余数逆序排列即可。

最先得到的余数是最低位,所以余数要逆序读。

前置知识点

接下来学习