综合挑战:数列与递推

等差数列中 $a_3 = 7,\ a_7 = 19$,求 $a_{10}$。

$d = \frac{19-7}{7-3} = 3$,$a_1 = 7 - 2\times3 = 1$,$a_{10} = 1 + 9\times3 = 28$。

等比数列中 $a_2 = 6,\ a_5 = 48$,求公比 $q$。

$q^3 = \frac{a_5}{a_2} = \frac{48}{6} = 8$,故 $q = 2$。

求 $1 + 3 + 5 + \cdots + 99$。

前 $n$ 个奇数之和为 $n^2$,共 $50$ 个,故和为 $50^2 = 2500$。

求 $2 + 4 + 6 + \cdots + 100$。

$= 2(1+2+\cdots+50) = 2\times\frac{50\times51}{2} = 2550$。

斐波那契数列中,求 $F_1 + F_3 + F_5 + F_7 + F_9$。

奇数下标之和 $\sum F_{2k-1} = F_{2n}$,这里 $= F_{10} = 55$(即 $1+2+5+13+34$)。

$a_1 = 2,\ a_{n+1} = 2a_n - 1$,求 $a_5$。

不动点 $x=2x-1\Rightarrow x=1$,$a_n - 1 = (a_1-1)2^{n-1} = 2^{n-1}$,$a_n = 2^{n-1}+1$,$a_5 = 16+1 = 17$。

求 $1^2 + 2^2 + \cdots + 20^2$。

$\frac{20\times21\times41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870$。

求 $\dfrac1{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\cdots+\dfrac1{n(n+1)}$ 最适合的方法是?

分母是相邻整数乘积,裂项 $\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ 后相消,结果为 $\frac{n}{n+1}$。