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等差数列与等比数列

核心概念

数列:按一定顺序排列的一列数 $a_1, a_2, a_3, \dots$ ,第 $n$ 项记作 $a_n$ 。

等差数列:从第二项起,每项与前一项的差为常数 $d$ (公差)。

a_n = a_1 + (n-1)d,\qquad S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d.

等比数列:从第二项起,每项与前一项的比为常数 $q$ (公比, $q\neq0$ )。

a_n = a_1 q^{\,n-1},\qquad S_n = \begin{cases} \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q\neq1 \\[2mm] na_1, & q=1.\end{cases}

中项:等差中项 $b=\dfrac{a+c}{2}$ ;等比中项 $b^2 = ac$ ( $b=\pm\sqrt{ac}$ )。

等差是"均匀地走":每步迈出同样的 $d$ ,通项就是起点加上走过的步数乘步长。求和用高斯的配对法——首尾相加都等于 $a_1+a_n$ ,共 $n$ 项配成 $\frac n2$ 对。

等比是"均匀地翻倍":每步乘以同样的 $q$ ,通项是起点乘以 $q$ 的幂。它的求和公式来自一个小技巧: $S_n$ 与 $qS_n$ 错开一位相减,中间项全部消掉,只剩首尾。把握"差不变"与"比不变"这两种最基本的规律,是处理一切数列问题的起点。

等差 / 等比

前 6 项之和 S₆ = 48

通项 aₙ = a₁ + (n−1)d

首项 a₁3

公差 d2

等差是「每步加同一个 d」,等比是「每步乘同一个 q」。切换上方按钮,观察通项与求和的不同增长方式。

例题 1等差数列求和

等差数列首项 $a_1=3$ ,公差 $d=2$ ,求前 $20$ 项之和。

▸查看解答步骤

答: S = 210

例题 2等比中项

若 $x$ 是 $4$ 和 $9$ 的等比中项,求 $x$ 。

▸查看解答步骤

答: x = ±6

等差数列 $a_1=3,\ d=2$ ,求 $a_{20}$ 。

$a_{20} = 3 + 19\times2 = 41$ 。

接上题,求前 $20$ 项之和 $S_{20}$ 。

$S_{20} = \frac{20(3+41)}{2} = 10\times44 = 440$ 。

等比数列 $a_1=3,\ q=2$ ,求 $a_5$ 。

$a_5 = 3\times2^{4} = 3\times16 = 48$ 。

等比数列 $a_1=3,\ q=2$ ,求前 $5$ 项之和 $S_5$ 。

$S_5 = \frac{3(2^5-1)}{2-1} = 3\times31 = 93$ 。

求 $1 + 2 + 3 + \cdots + 100$ 。

等差数列求和: $\frac{100(1+100)}{2} = 50\times101 = 5050$ 。

三个数 $a,b,c$ 成等差数列当且仅当 $2b = a + c$ 。

等差中项的定义即 $b - a = c - b$ ,等价于 $2b = a+c$ 。

通项里 $(n-1)$ 写成 $n$ 。 第 $n$ 项是走了 $n-1$ 步,等差为 $a_1+(n-1)d$ ,等比为 $a_1 q^{n-1}$ 。
等比求和忘记讨论 $q=1$ 。 $q=1$ 时公式分母为 $0$ ,此时 $S_n = na_1$ 。
等比中项漏掉负号。 $b^2=ac$ 有两个解 $b=\pm\sqrt{ac}$ ,常需保留两解。

前置知识点

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接下来学习