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拓展:线性递推与特征方程

核心概念

二阶线性递推:形如

a_{n+2} = p\,a_{n+1} + q\,a_n

的递推。它的特征方程为

x^2 = px + q,\quad\text{即}\quad x^2 - px - q = 0.

通项公式(设特征方程两根为 $x_1, x_2$ ):

其中 $A, B$ 由两个初值 $a_1, a_2$ 代入求出。

为什么一个二次方程能"解开"递推?因为等比数列 $x^n$ 天生满足这类递推:把 $a_n = x^n$ 代入 $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ ,约去 $x^n$ 就得到 $x^2=px+q$ 。于是特征方程的每个根都给出一个"基础解",而一般解就是这些基础解的线性组合。

这把"逐项递推"一举变成"代数求根 + 解二元一次方程组"。先用特征方程找出增长的"基本速率" $x_1,x_2$ ,再用两个初值定出配比 $A,B$ ,通项立刻到手——这正是斐波那契数列通项公式的来源。

特征方程

特征方程 x² − 1x − 2 = 0,根为 2, -1。通项是这些根的幂的线性组合 aₙ = A·x₁ⁿ + B·x₂ⁿ。

系数 p1

系数 q2

把 aₙ = xⁿ 代入递推,约去 xⁿ 就得到特征方程 x² = px + q。它的根给出数列的「基本增长速率」。

例题 1求线性递推通项

已知 $a_1 = 1,\ a_2 = 1$ , $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ ,求通项 $a_n$ 。

▸查看解答步骤

答: aₙ = (2ⁿ − (−1)ⁿ)/3

例题 2用通项验证

接上例,求 $a_5$ 。

▸查看解答步骤

答: a₅ = 11

递推 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ 的特征方程是?

x^2 - 5x + 6 = 0

x^2 + 5x + 6 = 0

x^2 - 6x + 5 = 0

x^2 = 5x + 6

$a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n \Rightarrow x^2 = 5x - 6 \Rightarrow x^2-5x+6=0$ 。

数列 $1,1,3,5,11,\dots$ ( $a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n$ )的第 $6$ 项是多少?

$a_6 = a_5 + 2a_4 = 11 + 2\times5 = 21$ ;或 $\frac{2^6-1}{3} = \frac{63}3 = 21$ 。

若特征方程有重根 $x$ ,则通项形式为?

a_n = (A + Bn)x^n

a_n = A x^n + B x^n

a_n = A x^n

a_n = A + Bn

重根时通项为 $(A+Bn)x^n$ ,多出一个 $n$ 的因子。

特征方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 的两个根中较小的一个是?

$(x-2)(x-3)=0$ ,根为 $2,3$ ,较小的是 $2$ 。

前置知识点

接下来学习