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递推关系

核心概念

递推关系:用前面的项来定义后面的项的规则,如 an+1=f(an)a_{n+1} = f(a_n)。给定初值后,整个数列被唯一确定。

常见可求通项的类型:

  • an+1=an+da_{n+1} = a_n + d:等差,an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d;
  • an+1=q ana_{n+1} = q\,a_n:等比,an=a1qn−1a_n = a_1 q^{n-1};
  • an+1=an+f(n)a_{n+1} = a_n + f(n):累加法,an=a1+∑k=1n−1f(k)a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} f(k);
  • an+1=q an+ca_{n+1} = q\,a_n + c(不动点法):设不动点 x=qx+cx = qx + c,则 {an−x}\{a_n - x\} 是等比数列。

直观理解 · 动手试试

递推是"用昨天推出今天"。它本身只给出相邻项的关系,要得到"第 nn 项的直接公式"(通项),就需要把递推"解开"。

核心套路是化归为等差或等比:如果每步是加一个量,就累加;如果每步是乘一个数,就连乘;如果是"乘再加"(an+1=qan+ca_{n+1}=qa_n+c),就找一个"不动点"xx,把它从两边减掉,差 an−xa_n - x 就乖乖变成纯等比。把陌生的递推改造成你认识的等差/等比,是解通项的万能思路。

递推 · 不动点

aₙ₊₁ = 2·aₙ + (1)

a1
1
→
a2
3
→
a3
7
→
a4
15
→
a5
31
→
a6
63
不动点 x = 1/(1−2) = -1。 令 bₙ = aₙ − (-1),则 {bₙ} 是公比 2 的等比数列,通项可解。
1
2
1

对 aₙ₊₁ = p·aₙ + c,找不动点 x = c/(1−p),把它从两边减掉,差 aₙ − x 就变成纯等比,通项立刻可解。

例题 1累加法

已知 a1=1a_1 = 1,an+1=an+(n+1)a_{n+1} = a_n + (n+1),求 ana_n。

▸查看解答步骤

答: aₙ = n(n+1)/2

例题 2不动点法

已知 a1=1a_1 = 1,an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1,求 ana_n。

▸查看解答步骤

答: aₙ = 2ⁿ − 1

即时练习

a1=1, an+1=an+(n+1)a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+(n+1),求 a5a_5。

an=n(n+1)2a_n = \frac{n(n+1)}2,a5=5⋅62=15a_5 = \frac{5\cdot6}2 = 15。

a1=1, an+1=2an+1a_1=1,\ a_{n+1}=2a_n+1,求 a5a_5。

an=2n−1a_n = 2^n - 1,a5=25−1=31a_5 = 2^5 - 1 = 31。

a1=1, an+1=an+2na_1=1,\ a_{n+1}=a_n+2n,求 a5a_5。(逐项:a2=3,a3=7,a4=13,a5=?a_2=3,a_3=7,a_4=13,a_5=?)

a5=a4+2×4=13+8=21a_5 = a_4 + 2\times4 = 13 + 8 = 21。

解 an+1=3an+2a_{n+1} = 3a_n + 2 型递推,最有效的方法是?

不动点法(转化为等比)裂项相消错位相减平方和公式

an+1=qan+ca_{n+1}=qa_n+c 用不动点法:令 x=3x+2x=3x+2 得 x=−1x=-1,则 {an+1}\{a_n+1\} 等比。

    给定初值和递推关系,数列的每一项都被唯一确定。

    递推 + 初值 = 确定整个数列,这是递推定义的基本性质。

    易错点

    • 累加时项数搞错。 an=a1+∑k=1n−1(⋯ )a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1}(\cdots),累加的是 n−1n-1 个增量,别多加或少加一项。
    • 不动点法忘记验证初值。 求出 {an−x}\{a_n-x\} 等比后,首项要用 a1−xa_1 - x,不是 a1a_1。
    • 把递推当通项用。 递推只给相邻关系,要回答"第 nn 项是多少"必须先解出通项公式。

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