进阶≈ 15 分钟未开始

斐波那契数列

核心概念

斐波那契数列:由

F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+2} = F_{n+1} + F_n

定义。前几项为 $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,\dots$

常用恒等式:

斐波那契是"自然界最爱的递推":每一项是前两项之和,看似简单,却藏着惊人的结构——它的相邻两项永远互质,它的下标的最大公约数对应着项的最大公约数,它的前 $n$ 项和又恰好"差一点"到达后面某一项。

这些恒等式大多可以用数学归纳法或错位叠加证明。比如求和公式:把递推 $F_k = F_{k+2}-F_{k+1}$ 逐项写出再相加,中间像裂项一样相消,只剩首尾。掌握斐波那契,等于掌握了一个研究递推数列各种性质的绝佳范本。

斐波那契

相邻两项之比 F₉/F₈ = 34/21 ≈ 1.6190

随 n 增大,这个比值趋近黄金比 φ ≈ 1.618

看到第几项n = 8

绿色两项相加得到红色的下一项。神奇的是,相邻两项的比值会越来越接近黄金比 φ。

例题 1前 n 项和

求斐波那契数列前 $10$ 项之和。

▸查看解答步骤

答: S₁₀ = 143

例题 2平方和

求 $F_1^2 + F_2^2 + \cdots + F_6^2$ 。

▸查看解答步骤

答: F₆·F₇ = 104

斐波那契数列的第 $10$ 项 $F_{10}$ 是多少?

$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55$ ,第 $10$ 项是 $55$ 。

斐波那契数列前 $10$ 项之和是多少?

$S_{10} = F_{12} - 1 = 144 - 1 = 143$ 。

$\gcd(F_8, F_9)$ 等于多少?

相邻两项互质, $\gcd(F_8,F_9)=1$ 。

$F_1^2 + F_2^2 + \cdots + F_6^2$ 等于多少?

$F_6 F_7 = 8\times13 = 104$ 。

斐波那契数列满足 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ 。

这正是斐波那契数列的定义递推。

前置知识点

接下来学习