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求和技巧:裂项与错位相减

核心概念

裂项相消法:把每一项拆成两个部分的差,求和时中间大量相消,只剩头尾。最常用的恒等式:

\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1},\qquad \frac{1}{n(n+k)} = \frac{1}{k}\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+k}\right).

错位相减法:求"等差 × 等比"型数列 $\{a_n b_n\}$ ( $a_n$ 等差, $b_n$ 等比)的和时,把 $S_n$ 与 $qS_n$ 错开一位相减。

平方和公式(常用):

1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

裂项相消的妙处是制造"多米诺式的抵消":每一项拆成相邻两块的差,前一项的后半块恰好抵消后一项的前半块,整列塌缩成首尾两个数。看到分母是相邻整数的乘积,几乎本能地就该想到裂项。

错位相减则是把等比求和的技巧推广一步:乘上公比 $q$ 再错位相减,让"等差系数"在相减后变成常数,从而化归为一个等比求和。两种方法都体现同一个智慧:与其硬加,不如制造相消。

裂项相消

(1/1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + (1/4 − 1/5)

相邻的 −1/2 与 +1/2 … 两两抵消,只剩最前的 1 和最后的 −1/5

和 = 1 − 1/5 = 4/5 ≈ 0.800

项数 n4

每项拆成相邻两块的差,前一项的后半块恰好抵消后一项的前半块,整列塌缩成首尾两个数。

例题 1裂项相消

求 $\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \cdots + \dfrac{1}{n(n+1)}$ 。

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答: S = n/(n+1)

例题 2具体裂项求和

求 $\dfrac{1}{1\cdot2} + \dfrac{1}{2\cdot3} + \cdots + \dfrac{1}{9\cdot10}$ 。

▸查看解答步骤

答: 9/10

求 $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2$ 。

$1+4+9+16 = 30$ ,或用公式 $\frac{4\cdot5\cdot9}{6} = 30$ 。

求 $1^2 + 2^2 + \cdots + 10^2$ 。

$\frac{10\cdot11\cdot21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$ 。

$\dfrac{1}{n(n+2)}$ 的正确裂项是?

\dfrac12\left(\dfrac1n - \dfrac1{n+2}\right)

\dfrac1n - \dfrac1{n+2}

\dfrac1n + \dfrac1{n+2}

\dfrac12\left(\dfrac1n + \dfrac1{n+2}\right)

$\frac{1}{n(n+k)} = \frac1k(\frac1n - \frac1{n+k})$ ,这里 $k=2$ ,系数为 $\frac12$ 。

求 "等差 × 等比" 型数列之和,应使用?

错位相减法裂项相消法直接套等差公式平方和公式

$\{a_n b_n\}$ ( $a_n$ 等差、 $b_n$ 等比)用错位相减法。

求极限式之外的具体和: $\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac1{2\cdot3}+\cdots+\dfrac{1}{99\cdot100}$ 最接近下列哪个整数?(填该整数)

和为 $1 - \frac1{100} = \frac{99}{100} = 0.99$ ,最接近整数 $1$ 。

前置知识点

接下来学习