数学课堂
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弧长和扇形面积

核心概念

设圆的半径 rr,圆心角(度数) n°n°(也常写 α\alpha)。

弧长:

ℓ=nπr180\ell = \dfrac{n \pi r}{180}

扇形面积:

S=nπr2360=12ℓrS = \dfrac{n \pi r^2}{360} = \dfrac{1}{2} \ell r

理解:整圆周 =2πr= 2\pi r 对应 360°360°;占 n°n° 部分就是 n360\dfrac{n}{360} 倍。圆面积 πr2\pi r^2 同理。

圆锥的侧面展开:

  • 圆锥的母线 ll = 展开扇形的半径;
  • 圆锥底面周长 2πr底2\pi r_{\text{底}} = 展开扇形的弧长;
  • 圆锥侧面积 =12⋅2πr底⋅l=πr底l= \dfrac{1}{2} \cdot 2\pi r_{\text{底}} \cdot l = \pi r_{\text{底}} l。

直观理解 · 动手试试

拖动滑块改变半径 rr 和圆心角 α\alpha,观察弧长(红色)和扇形面积(蒙绿色)如何变化。

互动演示

弧长与扇形面积

Or = 3α = 120°
3
120°
弧长
≈ 6.283
扇形面积
≈ 9.425 (= 9.425)
例题 1弧长

半径 r=2r = 2,圆心角 60°60°。求弧长。

互动演示弧长 ℓ = nπr / 180
60°
半径 r = 2，圆心角 n = 60°
ℓ = 60·π·2 / 180 = 0.667π ≈ 2.09

弧长是整圆周长的 n/360。公式 ℓ = nπr/180。r=2、n=60° → ℓ = 2π/3。

▸查看解答步骤

答: ℓ = 2π/3

例题 2扇形面积

半径 r=3r = 3,圆心角 120°120°。求扇形面积。

互动演示扇形面积 S = nπr² / 360
120°
半径 r = 3，圆心角 n = 120°
S = 120·π·9 / 360 = 3.00π ≈ 9.42

扇形是整圆面积的 n/360。S = nπr²/360。r=3、n=120° → S = 3π。

▸查看解答步骤

答: S = 3π

即时练习

r=6r = 6,n=30°n = 30°。弧长 =?1π= \dfrac{?}{1} \pi,填整数。

ℓ=30⋅π⋅6180=π\ell = \dfrac{30 \cdot \pi \cdot 6}{180} = \pi,所以答案 11。

半径 66,圆心角 90°90° 的扇形面积 =?1π= \dfrac{?}{1} \pi,填整数。

S=90⋅π⋅36360=9πS = \dfrac{90 \cdot \pi \cdot 36}{360} = 9\pi,答案 99。

扇形弧长 ℓ=4\ell = 4,半径 r=3r = 3,扇形面积 =?= ?

S=12ℓr=12⋅4⋅3=6S = \dfrac{1}{2} \ell r = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 = 6。

圆锥母线 l=5l = 5,底面半径 r底=3r_{\text{底}} = 3。侧面积是?

9π9\pi15π15\pi24π24\pi30π30\pi

S侧=πr底l=π⋅3⋅5=15πS_{\text{侧}} = \pi r_{\text{底}} l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi。

    易错点

    • 弧长与面积公式分母混淆。 弧长公式分母是 180,面积公式分母是 360。常因记混导致结果差 22 倍。
    • 角度单位是度数。 公式中的 nn 是度,不是弧度;若题目给弧度,需要换算。
    • 圆锥侧面展开把底周长当成弦长。 圆锥底面周长 2πr底2\pi r_{\text{底}} 对应展开扇形的弧长,不是弦长;母线 ll 对应扇形半径。

    下一步

    前置知识点