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正多边形和圆

核心概念

正多边形:各边相等且各内角也相等的多边形(如正三角形、正方形、正六边形)。

正多边形都有外接圆(过所有顶点的圆)与内切圆(与各边都相切的圆),且它们同心,圆心叫正多边形的中心。

关键量(设正 nn 边形,外接圆半径 RR,边长 aa,边心距 rr):

  • 中心:外接圆/内切圆的公共圆心 OO;
  • 半径 RR:中心到任一顶点的距离(= 外接圆半径);
  • 边心距 rr:中心到任一边的距离(= 内切圆半径);
  • 中心角:相邻两顶点对中心所成的角:
θ=360°n\theta = \dfrac{360°}{n}

面积公式:

S=12×周长×边心距=12⋅na⋅rS = \dfrac{1}{2} \times \text{周长} \times \text{边心距} = \dfrac{1}{2} \cdot na \cdot r

边、半径、边心距关系(把正 nn 边形分成 nn 个全等的等腰三角形,顶角 =360°/n= 360°/n):

a=2Rsin⁡ ⁣(180°n),r=Rcos⁡ ⁣(180°n)a = 2R \sin\!\left(\dfrac{180°}{n}\right),\quad r = R \cos\!\left(\dfrac{180°}{n}\right)

直观理解 · 动手试试

把正 nn 边形从中心向每个顶点画一条半径,就把它切成 nn 个全等的等腰三角形,每个三角形的顶角都是 360°/n360°/n。所有关于边长、内角、面积的公式,都源自这个"切披萨"的视角。nn 越大,正多边形越像它的外接圆 —— 这正是古人用正多边形逼近圆周率的思路。

互动演示

圆内接正多边形

60.0°O
边数
6
内角
120.0°
中心角
60.0°
6

中心角 = 360° / n,内角 = (n − 2) × 180° / n。

例题 1正六边形的核心量

正六边形边长 a=4a = 4,求半径 RR、边心距 rr。

互动演示正六边形：半径 R = 边长 a
边长 a = 4，中心角 60° → 6 个等边三角形

正六边形的 6 个中心三角形都是等边三角形，所以外接圆半径 R 正好等于边长 a。边心距 r = R·cos30°。

▸查看解答步骤

答: R = a

例题 2求正多边形面积

正六边形边长 a=2a = 2,求面积。

互动演示正多边形面积 = ½ × 周长 × 边心距
边长 a = 2 → 边心距 r = √3，周长 = 12

正多边形拆成 n 个全等三角形，每个面积 = ½·边·边心距，总和 = ½·周长·边心距。本题 = 6√3。

▸查看解答步骤

答: S = 6√3

即时练习

正六边形的中心角(度数)= ?

360°/6=60°360° / 6 = 60°。

正八边形的中心角(度数)= ?

360°/8=45°360° / 8 = 45°。

正多边形中心是?

边的中点外接圆与内切圆的公共圆心对角线的中点仅是外接圆的圆心

正多边形的外接圆与内切圆同心,公共圆心即中心。

    正方形边长 a=2a = 2,边心距 r=?r = ?

    正方形的中心到任一边的距离 = 边长的一半 = 22=1\dfrac{2}{2} = 1。

    易错点

    • 混淆半径与边心距。 半径 RR 是中心到顶点的距离;边心距 rr 是中心到边的距离。R>rR > r。
    • 以为正多边形面积 = 12R⋅\dfrac{1}{2} R \cdot 周长。 错。面积公式中是 边心距 rr,不是 半径 RR。
    • 正六边形 R=aR = a 推广到其他正多边形。 这是正六边形的特殊性质(由 60°60° 的等边三角形决定);正方形、正八边形等不成立。

    下一步