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圆的有关性质

核心概念

基本要素:

  • 圆心 OO、半径 rr;
  • 弦:连接圆上任意两点的线段;
  • 直径:经过圆心的弦,等于 2r2r,是圆中最长的弦;
  • 弧:圆上两点之间的部分。两点把圆分成优弧(较长)与劣弧(较短);相等的两条半圆称半圆弧。

圆是中心对称图形(对称中心是圆心),也是轴对称图形(任何过圆心的直线都是对称轴)。

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧。

逆定理(推论):

  • 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
  • 弦的中垂线必过圆心。

圆心角与圆周角:

  • 圆心角:顶点在圆心,两边是半径的角;
  • 圆周角:顶点在圆上,两边是弦的角。

圆周角定理:同弧(或等弧)所对的圆周角相等,且等于该弧所对圆心角的一半:

∠ACB=12∠AOB\angle ACB = \tfrac{1}{2} \angle AOB

推论:直径所对的圆周角是直角(因圆心角 =180°= 180°,圆周角 =90°= 90°)。

直观理解 · 动手试试

下面分两个模式演示:弦与垂径定理(拖动 A,BA, B,DD 始终是 ABAB 中点)、圆周角定理(拖动 PP,∠APB\angle APB 始终是 ∠AOB\angle AOB 的一半)。

互动演示

圆的性质 — 弦与圆周角

ODAB
|AD|
5.57
|DB|
5.57
垂径定理:OD ⊥ AB ⇒ D 是 AB 的中点
例题 1用垂径定理求弦长

圆 OO 半径 r=5r = 5,圆心到弦 ABAB 的距离 d=3d = 3。求 ABAB 的长。

互动演示垂径定理：r² = d² + (半弦)²
OAB
半径 r = 5，圆心距 d = 3.0
半弦 = √(5² − 3.0²) = 4.00
弦 AB = 2 × 4.00 = 8.00

垂直于弦的半径平分弦。半径、圆心距、半弦构成直角三角形。d=3 → 半弦 4 → AB=8。

▸查看解答步骤

答: 弦长 = 8

例题 2用圆周角定理

∠AOB=70°\angle AOB = 70°(OO 为圆心),PP 是优弧 ABAB 上一点,求 ∠APB\angle APB。

互动演示圆周角 = 同弧圆心角的一半
OABP
圆心角 ∠AOB = 70°
圆周角 ∠APB = 70/2 = 35°

同一段弧所对的圆周角是圆心角的一半。∠AOB = 70° → ∠APB = 35°（与 P 在优弧上的位置无关）。

▸查看解答步骤

答: ∠APB = 35°

即时练习

圆心到弦距离 44,半径 55。弦长 =?= ?

半弦 =25−16=3= \sqrt{25 - 16} = 3,弦长 =2⋅3=6= 2 \cdot 3 = 6。

直径所对的圆周角等于多少度?

圆心角 =180°= 180°,圆周角 =180°/2=90°= 180°/2 = 90°。

弦 ABAB 的中垂线?

不一定过圆心必过圆心过弦的中点但不过圆心过圆周但不过圆心

垂径定理推论:弦的中垂线必过圆心。

    ∠AOB=100°\angle AOB = 100°(OO 为圆心),则同弧 ABAB 所对的圆周角(度数)= ?

    ∠APB=100°/2=50°\angle APB = 100° / 2 = 50°。

    易错点

    • 混淆圆心角和圆周角。 圆心角顶点在圆心,圆周角顶点在圆上;圆周角是圆心角的一半,顺序别搞反。
    • 垂径定理用错前提。 必须是"垂直于弦的直径(过圆心)";如果只是普通线段平分弦,不一定垂直。
    • 同弧 vs 不同侧弧。 同弧两侧的圆周角不等(优弧、劣弧上的圆周角互补,和为 180°180°)。"同弧所对的圆周角相等"指同一侧。

    下一步

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