进阶≈ 15 分钟未开始
点和圆、直线和圆的位置关系
核心概念
点和圆:设点到圆心的距离为 ,圆的半径为 。
| 关系 | 位置 |
|---|---|
| 点在圆内 | |
| 点在圆上 | |
| 点在圆外 |
直线和圆:设圆心到直线的距离为 ,半径为 。
| 关系 | 位置 | 公共点数 |
|---|---|---|
| 相离 | 个 | |
| 相切 | 个(切点) | |
| 相交 | 个(交点) |
切线的性质:经过切点的半径垂直于切线(, 为切点)。
切线的判定:经过半径的外端,且垂直于该半径的直线是圆的切线。
切线长定理:从圆外一点 引圆的两条切线,两条切线长相等(, 为切点),且** 平分** 。
直观理解 · 动手试试
点和圆、直线和圆,所有判断只看一件事:某段距离 与半径 谁大谁小。距离比半径小就在"圆里",相等就"贴着"圆,大就"在外面"。没有其他信息需要 —— 把题目里复杂的几何关系最终全部归结到"算出 ,比较 "。
互动演示
直线与圆的位置关系
相交 (d < r)
50
d > r
相离
d = r
相切
d < r
相交
圆 半径 。点 到 的距离 , 在哪里?
互动演示点与圆：比较 d 与 r
半径 r = 5，距离 d = 5.0
d = r ⇒ 点在 圆上
d < r 圆内、d = r 圆上、d > r 圆外。本题 d = 5 = r → 点恰好在圆上。
▸查看解答步骤
答: 点在圆上
是圆 的切线,切点 。,,求 。
互动演示切线长：OT ⊥ PT，用勾股
r = 3，|PO| = 5
|PT| = √(5² − 3²) = 4.00
切线垂直于过切点的半径，所以 △OTP 是直角三角形。|PT|² = |PO|² − r²。PO=5、r=3 → PT=4。
▸查看解答步骤
答: PT = 4
即时练习
点到圆心距离 ,圆半径 。点在哪里?
圆内圆上圆外无法判断,点在圆外。
直线与圆相切时,公共点的个数是?
相切恰好 个公共点(切点)。
经过切点的半径与切线的夹角(度数)是?
切线性质:半径 切线,夹角 。
圆心 到直线 的距离是 ,圆半径 。直线 与圆?
相离相切相交无法判断,相交。
易错点
- 方向搞反。 "点在圆内"对应 ,内部距离小;"点在圆外"对应 。直线相离对应 (远离),相交对应 (靠近)。
- 切线判定漏一个条件。 切线需要两个条件:经过半径的外端(端点在圆上),并且垂直于该半径。少一个都不算。
- 切线长定理范围。 切线长定理只在 是圆外一点时成立; 在圆上或圆内则不成立。