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中心对称

核心概念

中心对称:把一个图形绕某点 OO 旋转 180°180°,如果旋转后能与另一图形完全重合,就说这两个图形关于点 OO 中心对称,OO 叫对称中心。

性质:

  • 中心对称的两个图形是全等形;
  • 对称中心是任意一对对应点连线的中点;
  • AA 与 A′A' 关于 OO 对称 ⇔\Leftrightarrow OO 是线段 AA′AA' 的中点。

中心对称图形(单个图形自身):如果存在一点 OO,使图形绕 OO 旋转 180°180° 后与原图重合,该图形就是中心对称图形,OO 是它的对称中心。

常见中心对称图形:线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正偶数边形(正六边形、正八边形等)。

注意:正三角形、正五边形不是中心对称图形(没有可使它绕一点转 180°180° 重合的点)。

关于原点对称的坐标:

(x,y)↔关于原点对称(−x,−y)(x, y) \xleftrightarrow{\text{关于原点对称}} (-x, -y)

直观理解 · 动手试试

把下面演示中的旋转角设为 θ=180°\theta = 180°,旋转后的三角形与原图刚好关于 OO 中心对称。

互动演示

绕中心 O 旋转三角形

ABCA'B'C'O
0°
红点 O 可拖动 · 中心对称 = +180° 旋转
例题 1求中心对称点

点 P(−2,3)P(-2, 3) 关于原点 OO 的中心对称点 P′P' 的坐标?

互动演示关于原点中心对称：(x,y) → (−x,−y)
P(-2,3)P′(2,-3)
P′ = (−-2, −3) = (2, -3)
O 是 PP′ 的中点（相当于绕 O 转 180°）

中心对称 = 绕中心旋转 180°。关于原点对称时横纵坐标都取相反数。P(−2,3) → P′(2,−3)。

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答: (2, -3)

例题 2找对称中心

已知 A(−1,0)A(-1, 0) 与 A′(3,2)A'(3, 2) 关于点 OO 中心对称,求 OO。

互动演示对称中心 = 对应点连线的中点
A(−1,0)A′(3,2)
A 与 A′ 关于某点 O 中心对称，O 在哪？

中心对称的两点，对称中心就是它们连线的中点。中点公式：横纵坐标各取平均。

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答: O = (1, 1)

即时练习

下列图形不是中心对称图形的是?

矩形菱形等边三角形圆

等边三角形是轴对称(有 33 条对称轴),但不是中心对称图形——绕任何点旋转 180°180° 都不与自己重合。

    点 (−4,5)(-4, 5) 关于原点的对称点的横坐标是?

    (x,y)→(−x,−y)(x, y) \to (-x, -y),横坐标变 44。

    A(2,−1)A(2, -1) 与 BB 关于原点对称,则 B=?B = ?

    (2,1)(2, 1)(−2,−1)(-2, -1)(−2,1)(-2, 1)(−1,2)(-1, 2)

    (2,−1)→(−2,1)(2, -1) \to (-2, 1)。

      下列哪个既是轴对称又是中心对称图形?

      等腰三角形等边三角形矩形一般平行四边形

      矩形有 22 条对称轴(轴对称),绕中心转 180°180° 重合(中心对称)。一般平行四边形只是中心对称,不是轴对称。

        易错点

        • 混淆"轴对称"和"中心对称"。 轴对称沿一条直线翻折重合;中心对称绕一点旋转 180°180° 重合。两个概念可能同时具备(如矩形),也可能只有一个(如等边三角形只有轴对称)。
        • 求关于原点对称的点忘了双重变号。 是 (−x,−y)(-x, -y),两个坐标都变号,不只是一个。
        • 以为正多边形都是中心对称。 正偶数边形(正方形、正六边形)是;正奇数边形(等边三角形、正五边形)不是。

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