数学课堂
基础≈ 15 分钟未开始

图形的旋转

核心概念

旋转:把一个图形绕定点 OO 转动一个角度的图形变换。

旋转的三要素:

  1. 旋转中心:定点 OO;
  2. 旋转角:旋转所转过的角度 θ\theta;
  3. 旋转方向:顺时针 或 逆时针。

旋转的性质:

  • 对应点到旋转中心的距离相等:∣OA∣=∣OA′∣|OA| = |OA'|;
  • 对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角:∠AOA′=θ\angle AOA' = \theta;
  • 旋转不改变图形的形状和大小(全等变换)。

旋转、平移、轴对称都是全等变换:对应线段相等、对应角相等、面积相等。

直观理解 · 动手试试

下面演示三角形绕红色中心 OO 旋转。拖动 OO,或拖动滑块改变旋转角 θ\theta,观察旋转后的图形(深色)与原图(虚线)的关系。

互动演示

绕中心 O 旋转三角形

ABCA'B'C'O
0°
红点 O 可拖动 · 中心对称 = +180° 旋转
例题 1旋转后坐标

点 P(3,0)P(3, 0) 绕原点 OO 逆时针旋转 90°90°,求旋转后点 P′P' 的坐标。

互动演示绕原点旋转：到中心的距离不变
P(3,0)P′(0.0,3.0)
逆时针 90° → P′ (0.00, 3.00)
|OP| = |OP′| = 3（半径不变）

旋转保持到旋转中心的距离不变，只改变方向。P(3,0) 逆时针 90° → P′(0,3)。

▸查看解答步骤

答: (0, 3)

例题 2确定旋转中心和角

正六边形 ABCDEFABCDEF 绕中心 OO 旋转后能与自己重合,最小旋转角是多少?

互动演示正多边形的最小旋转角 = 360° ÷ n
正 6 边形：最小旋转角 = 360°/6 = 60°
已转 0 步 = 0°（与原图重合）

正 n 边形绕中心转 360°/n 就与自身重合。正六边形 → 60°（也可 120°、180°… 重合）。

▸查看解答步骤

答: O 为中心,旋转 60°

即时练习

下列变换中,不属于全等变换的是?

旋转平移轴对称放缩(位似)

旋转、平移、轴对称都保持图形的形状和大小;位似(放缩)改变大小,不是全等变换。

    正方形绕中心旋转后与自己重合,最小旋转角(度数)是?

    正方形 44 顶点等距,最小重合角 =360°/4=90°= 360° / 4 = 90°。

    把点 A(1,2)A(1, 2) 绕原点 OO 顺时针旋转 90°90°,得 A′=?A' = ?

    (−2,1)(-2, 1)(2,−1)(2, -1)(−1,−2)(-1, -2)(1,−2)(1, -2)

    顺时针 90°90°:(x,y)→(y,−x)(x, y) \to (y, -x),(1,2)→(2,−1)(1, 2) \to (2, -1)。

      图形绕一点旋转后,下列哪个不一定相等?

      对应点到旋转中心的距离对应线段的长度对应角的度数对应点的横坐标

      全等变换保持长度、角度,但坐标会变(旋转后位置变了)。

        易错点

        • 忘了说明旋转方向。 描述旋转必须指明顺时针还是逆时针,只说"旋转 90°90°" 不够明确。
        • 以为旋转改变形状。 旋转是全等变换,只改变位置,不改变形状大小。
        • 把"对应点到中心距离相等"误用为"对应点连线被中心平分"。 后者只有在旋转 180°180°(中心对称)时成立,一般旋转不成立。

        下一步

        接下来学习