数学课堂
进阶≈ 18 分钟未开始

实际问题与二次函数

核心概念

二次函数最常用于求最值——最大利润、最大面积、最高点等。

通用步骤:

  1. 设变量:选自变量 xx,把目标量 yy 表示成 xx 的二次函数;
  2. 写定义域:写出 xx 的实际取值范围(如长度 >0> 0、人数 ≤\leq 某值);
  3. 化顶点式或求顶点公式:得对称轴 x=−b/(2a)x = -b/(2a),顶点 yy 值;
  4. 判断顶点是否在定义域内:若在,顶点 yy 就是最值;若不在,到端点取值(最值在区间端点处);
  5. 答:结合实际意义作答。

三种常见模型:

(A) 最大利润:利润 == 单件利润 ×\times 销量。售价升高,单件利润增、销量降,利润是 xx 的二次函数。

(B) 最大面积:用一条固定长度的栅栏围矩形花圃,长 ×\times 宽是关于一边的二次函数。

(C) 抛物运动:物体抛出后高度随时间(或水平距离)按二次函数变化,顶点对应最高点。

直观理解 · 动手试试

最大值/最小值 = 抛物线的顶点。开口向下 ⇒\Rightarrow 顶点是最高点(最大值);开口向上 ⇒\Rightarrow 顶点是最低点(最小值)。但实际题往往有定义域限制,顶点不一定在范围内,这时需要在端点取值比较。

互动演示拖动 a、b、c,观察抛物线
-5-4-3-2-112345-5-4-3-2-112345O顶点 (0.00, -1.00)
1.0
0.0
-1.0
开口向上顶点 (0.00, -1.00) · 开口向上
拖动 a、b、c,观察顶点和开口方向如何变化。
例题 1最大利润

某商品进价 2020 元,每件按 3030 元出售,每天可卖 100100 件。每涨价 11 元,日销量减少 55 件。售价定多少时,利润最大?

互动演示最大利润：找抛物线顶点
涨价 x →
售价 35 元，销量 75 件
利润 = (10+5)(100−5·5) = 1125 元 ← 最大
y = −5x²+50x+1000，对称轴 x=5：

利润 = 单件利润 × 销量，化成二次函数后求顶点。对称轴 x=5 → 售价 35 元，最大利润 1125 元。

▸查看解答步骤

答: 最大利润 1125 元;售价 35 元

例题 2最大面积

用长 2020 米的篱笆围一矩形(一面靠墙,不需篱笆)。问长、宽各多少时,面积最大?

互动演示最大面积：20 米篱笆靠墙围矩形
墙50 m²10 米5
两条垂直边各 x，平行墙的边 = 20 − 2x
S = x(20−2x) = 50 ← 最大
S = −2x²+20x，对称轴 x=5：

靠墙那条边不用篱笆，所以只有三条边用掉 20 米。面积化成二次函数，顶点 x=5 → 宽 5、长 10，最大面积 50 m²。

▸查看解答步骤

答: 最大面积 50 平方米

即时练习

二次函数 y=−x2+10xy = -x^2 + 10x 在 x=?x = ? 时取得最大值。

对称轴 x=−10/(−2)=5x = -10 / (-2) = 5。

上题中,yy 的最大值是?

y(5)=−25+50=25y(5) = -25 + 50 = 25。

二次函数 y=2(x−3)2+4y = 2(x - 3)^2 + 4 的最小值是?

334400没有最小值

a=2>0a = 2 > 0,开口向上,顶点 (3,4)(3, 4) 是最低点,最小值 =4= 4。

    一个石子从地面竖直上抛,h=20t−5t2h = 20t - 5t^2。石子达到最高点用时(秒)是?

    对称轴 t=−20/(−10)=2t = -20/(-10) = 2 秒。

    易错点

    • 忘记写定义域。 实际问题中,xx 必须满足物理意义(长度、数量、价格 ≥0\geq 0),不写定义域会把无效解算进去。
    • 顶点不在定义域内还用顶点值。 顶点在定义域外时,最值在区间端点取,需要逐个代端点比较大小。
    • 混淆最大利润的因子。 "单件利润 ×\times 销量"——每个因子都随 xx 变,两个都要写正确再相乘列函数。

    下一步

    接下来学习