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二次函数与一元二次方程

核心概念

核心联系:一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根,就是抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 x 轴交点的横坐标。

判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 与抛物线和 x 轴位置关系:

判别式	方程根	抛物线与 x 轴
$\Delta > 0$	两个不等实根 $x_1, x_2$	两个交点 $(x_1, 0), (x_2, 0)$
$\Delta = 0$	两个相等实根(重根)	一个交点(相切)
$\Delta < 0$	没有实数根	没有交点

符号判断 $y$ 值:

抛物线在 x 轴上方时 $y > 0$ ;
在 x 轴下方时 $y < 0$ ;
在 x 轴上时 $y = 0$ 。

这给一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ 一个直观的图像解法:看抛物线在哪些 $x$ 处图像位于 x 轴上方。

直观理解 · 动手试试

代数与图像是同一件事的两种语言。方程视角:解 $ax^2 + bx + c = 0$ 给出几个 $x$ 值;图像视角:抛物线和 $x$ 轴有几个交点。两者结果完全一致,因为 $y = 0$ 就意味着图像踩在 $x$ 轴上。

互动演示拖动 a、b、c,观察抛物线

a (二次项)1.0

b (一次项)0.0

c (常数项)-1.0

开口向上顶点 (0.00, -1.00) · 开口向上

拖动 a、b、c,观察顶点和开口方向如何变化。

例题 1由图像读方程根

抛物线 $y = x^2 - 2x - 3$ 与 x 轴的交点横坐标即为 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 的根。

互动演示抛物线与 x 轴交点 = 方程的根

x² − 2x − 3 = 0 的根在哪？

二次函数 y=ax²+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax²+bx+c=0 的根。交点几个，实根就几个。

▸查看解答步骤

答: x₁=-1, x₂=3

例题 2由 Δ 反推参数

若抛物线 $y = 2x^2 - 3x + m$ 与 x 轴有两个不同交点,求 $m$ 的取值范围。

互动演示由 Δ 反推参数 m 的范围

y = 2x² − 3x + m，m = 0.0

Δ = 9 − 8m = 9.0 → 2 个交点

两个交点需 Δ>0 ⇒ m < 9/8 = 1.125

"与 x 轴有两个不同交点" 翻译成 Δ>0。解不等式 9−8m>0 得 m<9/8。临界 m=9/8 时相切（一个交点）。

▸查看解答步骤

答: m < 9/8

即时练习

抛物线 $y = x^2 + 1$ 与 x 轴的交点个数?

0

个

1

个

2

个无数个

$\Delta = 0 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -4 < 0$ ,无交点(整条抛物线在 x 轴上方)。

抛物线 $y = x^2 - 2x + 1$ 与 x 轴有几个交点?

$\Delta = 4 - 4 = 0$ ,有一个交点(抛物线与 x 轴相切)。

已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 与 x 轴交于 $(-2, 0)$ 与 $(4, 0)$ ,则方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的两根是?

-2,\ 4

之和

x_1 = -2,\ x_2 = 4

x_1 = 2,\ x_2 = -4

x_1 = 0,\ x_2 = 0

与 x 轴交点的横坐标 = 方程的根。

若 $y = x^2 - 4x + m$ 与 x 轴只有一个交点,则 $m = ?$

$\Delta = 16 - 4m = 0 \Rightarrow m = 4$ 。

易错点

混淆"交点个数"与"根的个数"。 它们一一对应。 $\Delta = 0$ 是一个交点(对应两个相等的根,有时算"一个"); $\Delta < 0$ 是没有交点(没有实根)。
以为抛物线一定与 x 轴相交。 当 $\Delta < 0$ 时整条抛物线都在 x 轴一侧,完全不交。
判别式参数题不写不等号。 求"两个不同交点"的参数范围时要用 $\Delta > 0$ ,严格大于;相切时是 $\Delta = 0$ ;不交时 $\Delta < 0$ 。

下一步

前置知识点

二次函数的图像和性质

接下来学习

实际问题和二次函数