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平移
核心概念
平移:把图形整体沿某一方向移动一段距离,得到一个新的图形。
平移的性质:
- 平移前后的图形 形状、大小、方向 完全相同(只是位置变了)。
- 对应点 所连接的线段 互相平行且相等。这条公共的"线段"代表平移的方向和距离,称为 平移向量。
如果平移向量是 ,那么点 平移后的对应点是 。
直观理解 · 动手试试
把一张纸上的图案,整体 沿一个方向滑动 —— 不旋转、不翻转、不放大缩小。每个点都走了相同的距离,沿着相同的方向。
下面拖动黄色圆点改变平移向量,观察:每个对应点连接的虚线 始终平行、长度相同。
互动演示
平移变换 — 拖动黄色圆点
平移向量 = (4.0, 1.0)
对应点连接的线段(黄色虚线)互相平行且相等。这就是平移的本质性质。
把点 沿向量 平移,求平移后的点 。
互动演示点的平移：(x, y) → (x + Δx, y + Δy)
x′ = 2 + (3) = 5
y′ = 3 + (-1) = 2
A′ = (5, 2)
平移就是给坐标各加一个增量：横坐标加 Δx，纵坐标加 Δy。本题向量 (3, −1) → A′ = (5, 2)。
▸查看解答步骤
答: A' = (5, 2)
三角形 的顶点为 ,,。已知 平移后到 ,求平移后的 和 。
互动演示三角形平移 —— 先定向量，再整体滑动
向量 = A′ − A = (3−1, 4−2) = (2, 2)
B′ = (3+2, 1+2) = …
C′ = (6+2, 4+2) = …
平移向量 = 终点 − 起点（A→A′ 得 (2,2)），同一向量作用到每个顶点。三角形平移后与原三角形全等。
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答: B' = (5, 3),C' = (8, 6)
即时练习
下列变换中,属于 平移的是?
把一张照片旋转 把一本书在桌面上向右推 cm把一个三角形以某条边为轴翻折把一张图片放大两倍平移只允许沿某方向滑动,不改变方向、不改变大小。旋转、翻折、缩放都不是平移。
点 沿向量 平移,得到 。求 。
。
平移后,任意两个对应点 所连接的线段都互相平行且相等。
这是平移最核心的性质 —— 每个点都"沿着相同方向、走相同距离"。
把点 沿向量 平移得到 ,求 。
(向左平移 个单位)。
易错点
- 把平移当成"任意搬移"。平移必须 整体 沿 同一方向 移动 同一距离。如果一部分移得多、一部分移得少,那不是平移(可能是其他变换)。
- 平移后认为"图形相似但不全等"。平移后形状和大小完全一样,所以新旧图形 全等(对应边、对应角都相等)。
- 算平移向量时把"目标 − 源"算反。永远是 终点坐标 − 起点坐标。 的向量是 ,不是 。