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平行线的性质

核心概念

如果已经知道两条直线 平行(由判定或题目给出),那么它们被第三条直线所截形成的角具有下列 性质:

  1. 两直线平行 ⇒\Rightarrow 同位角相等。
  2. 两直线平行 ⇒\Rightarrow 内错角相等。
  3. 两直线平行 ⇒\Rightarrow 同旁内角互补。

注意方向:性质 是从"线平行"推出"角的关系";判定 是从"角的关系"推出"线平行"。两者方向相反,使用时不能混淆。

直观理解 · 动手试试

把"平行"当成一个 结论传递器:一旦两条直线被确认平行,所有由截线截出的角都立即被它们的位置关系"锁定"——同位角必相等、内错角必相等、同旁内角必互补。

下面演示:已知两条横线是平行的,无论截线怎样倾斜,各类对应角的关系都保持不变。

互动演示

平行线与截线 — 八角

l₁l₂∠1120°∠260°∠3120°∠460°∠5120°∠660°∠7120°∠860°
两直线平行 → 同位角相等
当前高亮的同位角对: (∠1, ∠5)、(∠2, ∠6)、(∠3, ∠7)、(∠4, ∠8)

提醒自己:本节是 由平行推角,而不是上一节的"由角推平行"。

例题 1先判定再用性质

如图,l1∥l2l_1 \parallel l_2,直线 cc 截 l1,l2l_1, l_2 于两点。已知 ∠1=70°\angle 1 = 70°,∠1\angle 1 与 ∠4\angle 4 是内错角。求 ∠4\angle 4。

互动演示两直线平行 ⇒ 内错角相等（性质）
l₁l₂››∠1=62°∠4=62°
∠1 = ∠4 = 62°（内错角，随截线转动始终相等）

这是性质（由平行推角）：l₁∥l₂ 是前提。无论截线怎么倾斜，一对内错角永远相等。

▸查看解答步骤

答: ∠4 = 70°

例题 2判定 + 性质 综合运用

如图,∠ABC=∠BCD\angle ABC = \angle BCD,∠1+∠2=180°\angle 1 + \angle 2 = 180°,求 ∠CDB\angle CDB 的度数(已知 ∠1=70°\angle 1 = 70°)。

互动演示判定 + 性质 的推理链（绿=判定，红=性质）
已知 ∠1 + ∠2 = 180°，∠1、∠2 是同旁内角
↳ 由判定 3 ⇒ AD ∥ BC
第 1 / 4 步

综合题的套路：先用判定（由角推平行）建立平行关系，再用性质（由平行推角）求出未知角。方向不能混。

▸查看解答步骤

答: ∠CDB = 110°

即时练习

下列说法 正确 的是?

同位角相等 ⇒\Rightarrow 两直线平行,是性质两直线平行 ⇒\Rightarrow 同位角相等,是性质两直线平行 ⇒\Rightarrow 同旁内角相等内错角相等 ⇒\Rightarrow 两直线一定不平行

"由平行推角"是性质;"由角推平行"是判定。同旁内角的关系是 互补,不是"相等"。

    如图,l1∥l2l_1 \parallel l_2,∠1=115°\angle 1 = 115°,∠1\angle 1 与 ∠2\angle 2 是同旁内角。求 ∠2\angle 2 的度数。

    由 l1∥l2l_1 \parallel l_2 和性质 3:同旁内角互补,∠2=180°−115°=65°\angle 2 = 180° - 115° = 65°。

    如果两条直线都平行于同一条直线,那么这两条直线也互相平行。

    这是平行的传递性。如果 a∥ba \parallel b 且 b∥cb \parallel c,那么 a∥ca \parallel c。可以用平行线的性质和判定证明。

    如图,AB∥CDAB \parallel CD,∠B=130°\angle B = 130°,∠B\angle B 与 ∠C\angle C 是同旁内角,∠C=?\angle C = ?

    AB∥CDAB \parallel CD,同旁内角互补:∠C=180°−130°=50°\angle C = 180° - 130° = 50°。

    易错点

    • 方向混淆。"两直线平行"在 前 是性质,在 后 是判定。读题时先圈出哪个是已知、哪个是结论,方向自然清楚。
    • 同旁内角说成"相等"。同旁内角的关系是 互补(和 180°180°),不是"相等"。
    • 用性质却没有"平行"作前提。比如题目里没说 l1∥l2l_1 \parallel l_2,就直接写"同位角相等"——这是错误的。必须先有"平行",才能用三条性质。

    下一步

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