数学课堂
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相交线

核心概念

两条直线相交于一点时,会形成 44 个角。这 44 个角之间有两种重要关系。

邻补角:有一条公共边、另一边互为反向延长线的两个角。它们的和等于 180°180°。

对顶角:有公共顶点,而且两边互为反向延长线的两个角。对顶角相等。

如果两条相交直线形成的 44 个角中有一个是直角(90°90°),那么 44 个角都是直角 —— 这时称两条直线 互相垂直。

直观理解 · 动手试试

把两支铅笔在桌面上交叉摆放,旋转其中一支:相对的两个角始终一样大(对顶角相等),相邻的两个角永远凑成一条直线(邻补角和为 180°180°)。

下面的演示中拖动滑块改变 ∠1\angle 1,观察四个角是如何同时变化的。

互动演示

相交线 — 对顶角与邻补角

ab∠1=50°∠2=130°∠3=50°∠4=130°∠1 + ∠2 = 180°(邻补角和为 180°)
对顶角相等
∠1 = ∠3 = 50°
∠2 = ∠4 = 130°
邻补角互补
∠1 + ∠2 = 180°
∠3 + ∠4 = 180°
拖动滑块改变 ∠1。注意:对顶角始终相等(薄荷色),邻补角和始终等于 180°(黄色背景)。
例题 1已知一个角,求其余三个角

两条直线相交,∠1=40°\angle 1 = 40°,求其余三个角的度数。

互动演示已知 ∠1 = 40°，用对顶角 / 邻补角推出其余三角
∠1=40°∠2∠3∠4
∠1 = 40°已知

对顶角相等、邻补角互补。四个角只有两种取值：40° 和 140°，且 40+140=180。

▸查看解答步骤

答: ∠2 = ∠4 = 140°,∠3 = 40°

例题 2用方程求两角

已知 ∠1\angle 1 与 ∠2\angle 2 互补,且 ∠1=3∠2\angle 1 = 3\angle 2,求这两个角。

互动演示列方程求角：∠1 + ∠2 = 180°，∠1 = 3∠2
∠1=120°∠2=60°
当前比值 ∠1 : ∠2 = 2.00 : 1
拖动滑块或点按钮，使比值等于 3

设 ∠2 = x，则 ∠1 = 3x。互补给出 3x + x = 180，解得 x = 45° → ∠1 = 135°、∠2 = 45°。

▸查看解答步骤

答: ∠1 = 135°,∠2 = 45°

即时练习

两条直线相交,∠1\angle 1 的对顶角是 50°50°,则 ∠1\angle 1 的邻补角等于多少?

50°50°130°130°40°40°90°90°

对顶角相等,∠1=50°\angle 1 = 50°;邻补角与它互补,180°−50°=130°180° - 50° = 130°。

    两条直线相交,如果有一个角是 90°90°,那么其余三个角分别等于多少度?(只填一个数即可)

    有一个角是 90°90°,它的对顶角也是 90°90°;两个邻补角 180°−90°=90°180° - 90° = 90°。所以四个角都是 90°90°。这时两条直线互相垂直。

    对顶角一定相等,但相等的两个角不一定是对顶角。

    "对顶角相等" 是性质;反过来不成立 —— 任意两个度数相同的角并不一定形成"反向延长线"的位置关系。

    两条直线相交所成的四个角中,有一个角比它的邻补角小 36°36°,这个角是多少度?

    设该角为 xx,则它的邻补角为 180°−x180° - x。条件:x=(180°−x)−36°x = (180° - x) - 36°,即 2x=144°2x = 144°,x=72°x = 72°。

    易错点

    • 把邻补角说成"邻角"。"邻角"只是位置相邻,没有强调"和为 180°180°"。邻补角必须同时满足"相邻"和"互补"。
    • 认为相等的角就一定是对顶角。对顶角是 位置关系(必须由两条相交直线产生),不是 数量关系(度数相等)。
    • 把"互相垂直"局限于一种朝向。只要两条直线相交所成角中有一个为 90°90°,它们就互相垂直,与朝向无关。

    下一步

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