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角

核心概念

角:由具有公共端点的两条射线组成的图形。这个公共端点叫做角的顶点,这两条射线叫做角的边。

记法: $\angle AOB$ ( $O$ 是顶点,写在中间)、 $\angle O$ (顶点处只有一个角时)或 $\angle 1$ 。

角的度量 —— "度、分、秒" 制:

$1$ 度 $= 60$ 分,记作 $1^\circ = 60'$ ;
$1$ 分 $= 60$ 秒,记作 $1' = 60''$ 。

进位与时间的 "时、分、秒" 一样都是 $60$ 进制。

角的分类:

锐角: $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ;
直角: $\alpha = 90^\circ$ ;
钝角: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ ;
平角: $\alpha = 180^\circ$ ;
周角: $\alpha = 360^\circ$ 。

角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线。若 $OC$ 平分 $\angle AOB$ ,则

\angle AOC = \angle BOC = \dfrac{1}{2}\angle AOB.

直观理解 · 动手试试

把角想象成 "张开的剪刀":两片刀刃是两条边,合页处就是顶点。剪刀张开越大,角越大;张得超过半周( $180^\circ$ )就是 "钝" 到不能再钝。

度、分、秒就像时间的时、分、秒:都是 $60$ 进制。 $35^\circ 48' 36''$ 不能简单写成 $35.4836^\circ$ ,要按进位换算。

∠AOB = 60°锐角

提示:拖动 B 改变角度,在 90° / 180° / 270° 附近会自动吸附。

例题 1把 35°48'36'' 化为度

把 $35^\circ 48' 36''$ 化为度(精确到 $0.01^\circ$ )。

互动演示度分秒换算 —— 60 进制逐级进位

35° 48′ 36″

秒 → 分36″ ÷ 60 = 0.600′

合并分48 + 0.60 = 48.60′

分 → 度48.60′ ÷ 60 = 0.8100°

合并度35 + 0.81 = 35.81°

度 = 35°

分 = 48′

秒 = 36″

和时间一样是 60 进制：60″ = 1′，60′ = 1°。所以 35°48′36″ 不是 35.4836°，要逐级除以 60。

▸查看解答步骤

答: 35.81°

例题 2角的平分线

已知 $\angle AOB = 80^\circ$ , $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线,求 $\angle AOC$ 。

互动演示角平分线 —— 把一个角劈成相等两半

∠AOB = 80°

∠AOC = ∠AOB ÷ 2 = 40°

∠BOC = 40°

验证：40° + 40° = 80° ✓

∠AOB = 80°

平分线（黄色虚线 OC）把角分成两个相等的角，每个都是原角的一半。本题 80° → 40°。

▸查看解答步骤

答: ∠AOC = 40°

即时练习

$70^\circ$ 属于哪一类角?

锐角直角钝角平角

$0^\circ < 70^\circ < 90^\circ$ ,属于锐角。

若 $OC$ 是 $\angle AOB$ 的平分线,且 $\angle AOB = 60^\circ$ ,则 $\angle AOC$ 等于多少度?

$\angle AOC = \dfrac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$ 。

$1^\circ = 60' = 3600''$ 。

$1^\circ = 60'$ , $1' = 60''$ ,因此 $1^\circ = 60 \times 60 = 3600''$ 。

下列描述错误的是?

平角等于

180^\circ

周角等于

360^\circ

1' = 100''

钝角大于直角而小于平角

角的度、分、秒是 60 进制, $1' = 60''$ ,不是 $100''$ 。

易错点

把度、分、秒按 $10$ 进制换算。 $48' \ne 0.48^\circ$ ,正确的换算是 $48' = \dfrac{48}{60}^\circ = 0.8^\circ$ 。
把 "平角" 当成 "直角"。 平角是 $180^\circ$ (一条直线),直角是 $90^\circ$ ;一字之差大不相同。
看到平分线就直接两两相减。 平分线把角分成相等的两部分,要 " $\div 2$ ",不是 " $- 2$ " 或 " $\div 4$ "。

下一步

前置知识点

直线、射线、线段

接下来学习

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