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几何图形
核心概念
立体图形:各部分不都在同一平面内的图形,如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
平面图形:各部分都在同一平面内的图形,如三角形、四边形、圆等。
点、线、面、体的关系:
- 点动成线:一支笔在纸上滑动,留下一条线;
- 线动成面:一条线段沿某方向平移,扫过一个面;
- 面动成体:一个矩形绕一边旋转一周,得到圆柱。
立体图形通常由面围成,面与面相交得到线(棱),线与线相交得到点(顶点)。
三视图(浅入):从立体图形的正面、左面、上面分别投影得到三个平面图形,称为主视图、左视图、俯视图。
长方体的基本数据:
- 顶点数:
- 棱数:
- 面数:
直观理解 · 动手试试
把几何想成 "降维与升维" 的游戏:
- 把点 "拖动" 就升一维变成线;
- 把线拖动就升一维变成面;
- 把面拖动就变成体。
反过来 —— 从立体上切下一刀就出现面,沿面切就出现线,沿线戳一下就出现点。这种 "点 → 线 → 面 → 体" 的层级关系是初中几何的总框架。
立方体
顶点
8
棱
12
面
6
判断球、圆柱、长方形、三角形 哪些是立体图形,哪些是平面图形。
互动演示
点击每个图形：立体 还是 平面？
点击全部 4 个图形，完成分类。
▸查看解答步骤
答: 立体:球、圆柱;平面:长方形、三角形
写出长方体的顶点数、棱数、面数。
互动演示
长方体的顶点、棱与面
8个顶点
每个角是一个顶点，共 8 个。
欧拉公式验证：顶点数 − 棱数 + 面数 = 8 − 12 + 6 = 2 ✓
▸查看解答步骤
答: 8、12、6
即时练习
下列图形中不是立体图形的是?
圆锥正方体圆球圆是平面图形(只有边界,没有体积)。其他三项都是立体图形。
长方体共有几条棱?
长方体上、下底各 条棱,加上中间 条竖棱,合计 条。
"线动成面" 描述的是几何图形之间的生成关系。
线在空间中平移或旋转可扫出面,这是 "线动成面" 的几何意义。
把一个矩形绕它的一条边旋转一周,得到的立体图形是?
球圆锥圆柱棱柱矩形绕一边旋转扫出的轨迹是圆柱面,所得到的立体图形是圆柱。
易错点
- 混淆 "圆" 与 "球"。 "圆" 是平面图形(只是一条圆周线围成的平面区域),而 "球" 是立体图形。
- 数面、数棱时漏数底面。 比如三棱锥有 个面( 底 侧),很多同学只数了 个侧面。
- 认为 "正方形" 与 "正方体" 是同一种东西。 "正方形" 是平面;"正方体" 是立体,有 个面、 条棱、 个顶点。
下一步
前置知识点
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