数学课堂
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平行线及其判定

核心概念

平行线:在同一平面内,永不相交 的两条直线。记作 l1∥l2l_1 \parallel l_2。

一条直线 cc 与两条直线 a,ba, b 都相交(称 cc 为 截线),会形成 88 个角,可分为三类位置关系:

  • 同位角:位于截线同侧、被截两直线的同一侧。
  • 内错角:位于截线两侧、被截两直线之间。
  • 同旁内角:位于截线同侧、被截两直线之间。

判定方法(从"角的关系"推出"线的平行"):

  1. 同位角相等 ⇒\Rightarrow 两直线平行。
  2. 内错角相等 ⇒\Rightarrow 两直线平行。
  3. 同旁内角互补 ⇒\Rightarrow 两直线平行。

直观理解 · 动手试试

把铁路上的两条铁轨看成两条直线,枕木看成截线。如果每根枕木和两条轨道形成的"同位角"都一样大,那两条轨道一定永不相交 —— 这就是判定 1 的直观含义。

下面的演示中,切换 同位角 / 内错角 / 同旁内角 三种类别,观察对应的角对在哪里。

互动演示

平行线与截线 — 八角

l₁l₂∠1120°∠260°∠3120°∠460°∠5120°∠660°∠7120°∠860°
两直线平行 → 同位角相等
当前高亮的同位角对: (∠1, ∠5)、(∠2, ∠6)、(∠3, ∠7)、(∠4, ∠8)
例题 1用同位角判定平行

如图,直线 l1,l2l_1, l_2 被直线 cc 所截,∠1\angle 1 与 ∠5\angle 5 是同位角,且 ∠1=∠5=60°\angle 1 = \angle 5 = 60°。判断 l1l_1 与 l2l_2 是否平行,并说明理由。

互动演示同位角相等 ⇒ 两直线平行
ab截线 c66°50°
同位角 66° ≠ 50° ⇒ 暂不平行

这是判定：由"同位角相等"推出"两直线平行"。把 b 调到与 a 平行时，两个绿/黄角恰好相等。

▸查看解答步骤

答: l₁ ∥ l₂

例题 2用同旁内角判定平行

直线 l1,l2l_1, l_2 被截线 cc 所截,∠3,∠5\angle 3, \angle 5 是同旁内角,且 ∠3+∠5=180°\angle 3 + \angle 5 = 180°。判断 l1,l2l_1, l_2 的关系。

互动演示同旁内角互补 ⇒ 两直线平行
ab∠3=114°∠5=48°
∠3 + ∠5 = 114 + 48 = 162° ≠ 180° ⇒ 暂不平行

同旁内角的判定条件是互补（和 180°），不是相等。一对同旁内角加起来正好 180° 时，两直线平行。

▸查看解答步骤

答: l₁ ∥ l₂

即时练习

下列条件中,不能 判定两直线平行的是?

同位角相等内错角相等同旁内角相等同旁内角互补

同旁内角的判定条件是 互补(和为 180°180°),不是"相等"。两个同旁内角相等只在它们都等于 90°90° 时才成立。

    在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线相交,那么这两条直线一定平行。

    反例:两条直线都和第三条相交,但它们本身也相交 —— 比如三角形的三条边。两直线平行需要的是 角的特殊关系,不仅仅是"都与第三条相交"。

    两条直线被第三条直线所截,要使这两条直线平行,一对同旁内角中已知一个为 60°60°,则另一个应为多少度?

    同旁内角互补 ⇒\Rightarrow 平行。180°−60°=120°180° - 60° = 120°。

    如图,∠1\angle 1 与 ∠2\angle 2 是内错角。若 ∠1=75°\angle 1 = 75°,且 l1∥l2l_1 \parallel l_2 由判定方法 2 成立,则 ∠2=?\angle 2 = ?

    105°105°75°75°15°15°90°90°

    判定方法 2:内错角相等 ⇒\Rightarrow 平行。要由此得到 l1∥l2l_1 \parallel l_2,必须 ∠1=∠2=75°\angle 1 = \angle 2 = 75°。

      易错点

      • 混淆三类角的位置。同位角在截线 同侧、两线同侧;内错角在截线 两侧、两线之间;同旁内角在截线 同侧、两线之间。画图时圈出对应区域更清晰。
      • 把"判定"和"性质"用反。本节是 判定:由角推线平行。下一节才是 性质:由线平行推角的关系。方向千万别混。
      • 认为只要看到 ∠1=∠2\angle 1 = \angle 2 就有平行。必须先确认它们是 同位角(或内错角),才能套用判定。

      下一步

      前置知识点
      接下来学习