数学课堂
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平方根

核心概念

平方根:如果 x2=ax^2 = a(a≥0a \ge 0),那么 xx 叫作 aa 的 平方根,记作 ±a\pm \sqrt{a}。

  • 正数 aa 有两个平方根,它们互为相反数:a\sqrt{a} 和 −a-\sqrt{a}。
  • 00 的平方根 只有一个,就是 00。
  • 负数没有(实数)平方根:任何实数的平方都 ≥0\ge 0。

算术平方根:正数 aa 的正的那个平方根,记作 a\sqrt{a}。约定 0=0\sqrt{0} = 0。

重要恒等式:a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|(aa 为任意实数)。

直观理解 · 动手试试

"开平方"是 "平方" 的逆运算:32=93^2 = 9,所以 99 的平方根是 ±3\pm 3;(−3)2=9(-3)^2 = 9,所以 −3-3 也满足。这就是为什么正数有 两个 平方根。

像 5\sqrt{5} 这种 —— 5\sqrt{5} 不是有理数,但它确实是一个真实存在的数。下面用"逼近"的视角来感受它。

当前近似
22.22.42.62.83真实 √5√5 ≈ 2
平方:2² = 4.0000
距离 5 还差:1.000000
第 0 步 / 共 3 步
例题 1求 49 的平方根

求 4949 的平方根和算术平方根。

互动演示找平方根：哪些数平方后等于 49？
5² = 25 vs 49
太小了
-77-10-50510
5

7² = 49 且 (−7)² = 49，所以 49 的平方根是 ±7（两个绿点）；算术平方根 √49 只取正的 7。

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答: ±7

例题 2化简 √(−6)²

化简 (−6)2\sqrt{(-6)^2}。

互动演示√(a²) 的"流水线"：先平方，再开方
输入 a
-6
平方 ²
→
符号被抹掉
a²
36
开方 √
→
√(a²)
6
结果 6 = |-6|，不是 -6：平方那一步已经丢掉了负号。
-6

√(−6)² = √36 = 6。流水线第一站"平方"把任何输入变成非负，所以最后开方只能得到 |a|。

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答: 6

即时练习

1616 的平方根是?

44−4-4±4\pm 4±8\pm 8

正数有两个平方根。42=164^2 = 16,(−4)2=16(-4)^2 = 16,所以是 ±4\pm 4。注意区别于"算术平方根"(16=4\sqrt{16} = 4,只取正)。

    (−5)2=?\sqrt{(-5)^2} = ?

    (−5)2=25=5\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5。或用恒等式:a2=∣a∣=∣−5∣=5\sqrt{a^2} = |a| = |-5| = 5。

    负数 −4-4 的平方根是 ±2\pm 2。

    负数没有实数平方根 —— 任何实数的平方都是非负的,不可能等于 −4-4。

    0.09\sqrt{0.09} 等于多少?

    0.32=0.090.3^2 = 0.09,且要取算术平方根(非负),所以 0.09=0.3\sqrt{0.09} = 0.3。

    易错点

    • 混淆"平方根"和"算术平方根"。平方根有两个(±a\pm\sqrt{a});算术平方根只取正的那个(a\sqrt{a})。题目用词不同,答案也不同。
    • 认为负数有平方根。实数范围内 −4\sqrt{-4} 没有意义。这是引入"实数"边界的关键事实。
    • 写成 a2=a\sqrt{a^2} = a。正确的恒等式是 a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|。如果 aa 可能是负数,必须加绝对值。

    下一步

    前置知识点
    接下来学习