数学课堂
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立方根

核心概念

立方根:如果 x3=ax^3 = a,那么 xx 叫作 aa 的 立方根,记作 a3\sqrt[3]{a}。

立方根与平方根的关键区别:每个实数都恰好有一个立方根。

  • 正数 的立方根是 正数:83=2\sqrt[3]{8} = 2。
  • 负数 的立方根是 负数:−83=−2\sqrt[3]{-8} = -2。
  • 00 的立方根是 00:03=0\sqrt[3]{0} = 0。

重要恒等式:−a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}(aa 为任意实数)、a33=a\sqrt[3]{a^3} = a(注意没有绝对值!)。

直观理解 · 动手试试

"开立方"是"立方"的逆运算。23=82^3 = 8,(−2)3=−8(-2)^3 = -8。

跟平方不同:平方的结果总是非负的,所以负数没有平方根;立方 可以是负数,所以负数也有立方根。

下面的演示原本是为"平方逼近"设计的,但其中的"不断缩小区间"思路对任何无理数的逼近都适用。这里把目标设成 23\sqrt[3]{2},感受立方根也可以是无理数。

当前近似
11.21.41.61.82真实 ∛2∛2 ≈ 1
平方:1² = 1.0000
距离 2 还差:1.000000
第 0 步 / 共 4 步
例题 1求 -27 的立方根

求 −27-27 的立方根。

互动演示立方根 —— 和平方根不同，保留符号
边长 |∛-27| = 3
体积（带符号）= -27
∛-27 = -3
验证：-3³ = -3×-3×-3 = -27

负数有且只有一个立方根，符号与原数相同（∛(−27) = −3）。这点和"负数没有平方根"恰好相反。

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答: -3

例题 2计算 ∛0.064

求 0.0643\sqrt[3]{0.064}。

互动演示∛0.064 —— 化成分数再开立方
目标：找 x 使 x³ = 0.064
第 1 / 4 步

小数开立方的窍门：先看小数位数（0.064 有 3 位）→ 结果是 1 位小数（0.4），因为 0.4³ 把位数 ×3。

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答: 0.4

即时练习

−643=?\sqrt[3]{-64} = ?

44−4-4±4\pm 4无意义

(−4)3=−64(-4)^3 = -64。负数有 唯一 的立方根,且符号为负。

    −1253\sqrt[3]{-125} 等于多少?

    (−5)3=−125(-5)^3 = -125。所以 −1253=−5\sqrt[3]{-125} = -5。

    任何实数都有立方根,且立方根唯一。

    这是立方根与平方根的关键区别。负数也有立方根,且每个数只对应一个立方根。

    下列说法 错误 的是?

    03=0\sqrt[3]{0} = 0a33=a\sqrt[3]{a^3} = a−a3=−a3\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}a33=∣a∣\sqrt[3]{a^3} = |a|

    a33=a\sqrt[3]{a^3} = a,不需要 绝对值,因为立方保留了符号。带绝对值的恒等式只属于平方根:a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|。

      易错点

      • 以为负数没有立方根(套用平方根的结论)。负数 没有平方根,但 有立方根,且立方根是负数。
      • 认为负数的立方根有两个。立方根永远 唯一(正、负、零都只有一个)。
      • 错写恒等式 a33=∣a∣\sqrt[3]{a^3} = |a|。立方根 不需要 绝对值。正确写法 a33=a\sqrt[3]{a^3} = a;只有 a2=∣a∣\sqrt{a^2} = |a|。

      下一步

      前置知识点
      接下来学习