数学课堂
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实数

核心概念

有理数 = 可以写成 pq\dfrac{p}{q}(p,qp, q 为整数,q≠0q \ne 0)的数 = 有限小数 或 无限循环小数。

无理数 = 无限不循环小数。例如 2\sqrt{2}、3\sqrt{3}、π\pi、23\sqrt[3]{2}。

实数 = 有理数 + 无理数。

实数的两个核心事实:

  1. 实数与数轴上的点一一对应:数轴上每个点都对应一个唯一的实数,反之亦然。
  2. 实数的运算法则 与有理数完全相同(加、减、乘、除、乘方,以及交换、结合、分配律)。

实数大小比较:在数轴上 右边的实数较大。

直观理解 · 动手试试

数轴是连续的 —— 没有任何"空隙"。整数把数轴分成一段段;有理数密密麻麻地填进去;但还是有 2\sqrt{2}、π\pi 这些 无理数 留下的"位置"。把它们也算上,数轴才完整。

下面用 SVG 标出几个典型实数在数轴上的位置:

-3-2-101234√2π-1.5

每个实数都"住"在数轴上某个唯一位置。

零
-10-8-6-4-202468100
提示:拖动黄色圆点,或点击数轴上的任意位置移动到那里。
例题 1实数大小排序

把 −2-\sqrt{2},π\pi,00,−1.5-1.5,33 按从小到大排序。

互动演示实数排序 —— 先估成小数，再放上数轴
-3-2-101234
−√2π0−1.53

无理数先估近似值（√2≈1.414，π≈3.14）。比较负数时要小心：−1.5 < −√2（越往左越小）。

▸查看解答步骤

答: -1.5 < -√2 < 0 < 3 < π

例题 2实数运算化简

计算 2+8−32\sqrt{2} + \sqrt{8} - 3\sqrt{2}。

互动演示把根式当"同类项"合并
先化简 ，统一成

只有同类根式（化简后根号内相同）才能合并，做法和合并同类项一样：系数相加 (1+2−3=0)，根号部分不变。

▸查看解答步骤

答: 0

即时练习

下列各数中,无理数 是?

13\dfrac{1}{3}3\sqrt{3}−0.5‾-0.\overline{5}(即 −0.555…-0.555\ldots)00

3\sqrt{3} 是无限不循环小数,是无理数。其余三项都是有理数(13\dfrac{1}{3}、循环小数、00 都能写成分数)。

    实数与数轴上的点一一对应。

    这是实数最核心的性质。数轴"无缝"地表示了全部实数。

    2+8−32\sqrt{2} + \sqrt{8} - 3\sqrt{2} 等于多少?

    8=22\sqrt{8} = 2\sqrt{2},2+22−32=0\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 0。

    下列说法 正确 的是?

    有理数和无理数加起来等于自然数有理数和无理数加起来等于实数4\sqrt{4} 是无理数π−3\pi - 3 是有理数

    有理数 + 无理数 = 实数。4=2\sqrt{4} = 2 是有理数。π−3\pi - 3 仍然是无限不循环小数,是无理数。

      易错点

      • 把 4\sqrt{4} 当成无理数。4=2\sqrt{4} = 2,是有理数。带根号 不等于 无理数,关键看化简后是否无限不循环。
      • 认为无限小数都是无理数。无限 循环 小数(如 0.333…0.333\ldots)是有理数;只有无限 不循环 才是无理数。
      • 在 a+b\sqrt{a} + \sqrt{b} 中乱合并。2+3≠5\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5},只能合并 同根 的项,例如 2+22=32\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}。

      下一步

      前置知识点