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位似

核心概念

位似图形:两个相似图形,若它们的每一对对应点的连线都经过同一点 $O$ ,则称这两个图形是位似图形, $O$ 叫做位似中心。

位似 = 相似 + 中心(对应点连线交于一点)。

位似比 = 相似比(对应边的比),记作 $k$ :

$k > 0$ :同侧位似(图形在位似中心的同一边);
$k < 0$ :反向位似(图形在位似中心的两侧,看起来像"翻转"过来)。

坐标位似(以原点为位似中心、位似比为 $k$ ):

(x, y) \quad \xrightarrow{\text{位似}} \quad (kx, ky)

即每个点的横纵坐标都乘以同一个 $k$ 。

性质:

位似一定相似(反之不一定);
对应点到位似中心的距离比 $= |k|$ ;
对应线段平行(或在同一直线上)。

直观理解 · 动手试试

位似是相似的"加强版" —— 不光形状相似,连位置都按比例对应。想象从位似中心 O 用一束"光线"打到每个原始顶点 A、B、C……;沿着光线按比例 $k$ 走到 A'、B'、C',就得到位似图形。下面用相似三角形的演示直观感受 k 控制大小:

互动演示

相似 = 同形不同大 · 拖动 k

相似比 k(A'B'C' 相对 ABC 的放缩倍数)1.5

边的比

|AB| / |A'B'| = 2.91 / 4.37 = 0.67

理论值 = 1/k = 0.67

对应角

∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'

相似 ⇒ 对应角全部相等

△ABC ∼ △A'B'C'

例题 1坐标位似

已知点 $A(2, -3)$ 、 $B(-1, 4)$ ,以原点为位似中心、位似比 $k = 2$ 作位似图形,求 $A'$ 、 $B'$ 。

互动演示以原点为中心位似：(x,y) → (kx, ky)

A′ = (2·2, 2·(−3)) = (4, -6)

O、A、A′ 三点共线（A′ 在射线 OA 上）

位似比 k = 2

以原点为位似中心时，每个点坐标同乘 k。位似比 2：A(2,−3) → A′(4,−6)、B(−1,4) → B′(−2,8)。

▸查看解答步骤

答: (4, -6), (-2, 8)

例题 2判断位似

平面上 $\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 相似,且 $AA'$ 、 $BB'$ 、 $CC'$ 都经过点 $O$ 。它们是位似图形吗?

互动演示位似 = 相似 + 对应点连线过同一点 O

三条对应点连线都过 O，且两三角形相似 → 是位似图形（O 为位似中心，比 1.8）

位似比 = 1.8

位似是特殊的相似：除了形状相似，还要求对应点连线交于同一点（位似中心 O）。改变比例，对应点始终在过 O 的射线上。

▸查看解答步骤

答: 是

即时练习

以原点为位似中心,位似比 $k = 3$ ,点 $(2, 1)$ 的对应点横坐标 $=$ ?

$3 \times 2 = 6$ 。

以原点为位似中心,位似比 $k = -1$ ,点 $(3, 4)$ 的对应点是?

(3, 4)

(-3, -4)

(-3, 4)

(3, -4)

$(x, y) \to (-x, -y) = (-3, -4)$ 。这相当于关于原点的中心对称。

位似图形一定是相似图形。

位似 = 相似 + 对应点连线共点,所以位似 ⇒ 相似。

$\triangle ABC$ 与 $\triangle A'B'C'$ 位似,位似比 $= 1/2$ 。若 $AB = 10$ ,则 $A'B' =$ ?

$A'B' = AB \times (1/2) = 5$ 。

易错点

把位似当成单纯的相似。 位似多了"对应点连线交于同一点"这一条;光相似不一定位似。
位似比 $k < 0$ 时忘了反向。 $k = -2$ 时点跑到位似中心另一侧且距离放大 $2$ 倍, $(x, y) \to (-2x, -2y)$ ,不是 $(2x, 2y)$ 。
以原点为位似中心时用错坐标变换。 必须两个坐标都乘 $k$ ,不是只乘其中一个。

下一步

前置知识点

相似三角形

接下来学习

锐角三角函数