数学课堂
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锐角三角函数

核心概念

在直角三角形 △ABC\triangle ABC 中(∠C=90°\angle C = 90°),把 ∠A\angle A 作为研究对象:

  • 它对边 aa = BCBC;
  • 它邻边 bb = ACAC;
  • 斜边 cc = ABAB。

锐角 AA 的三角函数:

sin⁡A=对边斜边=ac,cos⁡A=邻边斜边=bc,tan⁡A=对边邻边=ab.\sin A = \dfrac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \dfrac{a}{c}, \quad \cos A = \dfrac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \dfrac{b}{c}, \quad \tan A = \dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \dfrac{a}{b}.

关键事实:三角函数值只与角的大小有关,与三角形大小无关(同一个角无论画在多大的直角三角形里,比值不变 — 因为它们相似)。

基本恒等式:sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1。

特殊角的精确值(必须背熟):

角度sin⁡\sincos⁡\costan⁡\tan
30°30°1/21/23/2\sqrt{3}/23/3\sqrt{3}/3
45°45°2/2\sqrt{2}/22/2\sqrt{2}/211
60°60°3/2\sqrt{3}/21/21/23\sqrt{3}

记忆口诀:sin⁡\sin 从 1/21/2 长大到 3/2\sqrt{3}/2,cos⁡\cos 从 3/2\sqrt{3}/2 缩到 1/21/2,tan⁡\tan 在 45°45° 等于 11。

直观理解 · 动手试试

拖动角度 θ\theta,sin⁡\sin、cos⁡\cos、tan⁡\tan 的数值随之变化;碰到 30°30°、45°45°、60°60° 时会跳出精确值提示。

互动演示

单位圆上的锐角三角函数

xycos θ ≈ 0.87sin θ ≈ 0.50θ = 30°PO
30°
= 0.500
= 0.866
= 0.577
特殊角:sin 30° = 1/2,cos 30° = √3/2,tan 30° = √3/3
例题 1求三角函数值

直角 △ABC\triangle ABC 中,∠C=90°\angle C = 90°,BC=3BC = 3,AC=4AC = 4。求 sin⁡A\sin A、cos⁡A\cos A、tan⁡A\tan A。

互动演示sin/cos/tan = 对边/邻边/斜边的比
A对3邻4斜5.00
sin A = 对/斜 = 3/5.00 = 0.60
cos A = 邻/斜 = 4/5.00 = 0.80
tan A = 对/邻 = 3/4 = 0.75

三个比都相对于锐角 A：sin=对/斜、cos=邻/斜、tan=对/邻。3-4-5 → sin=3/5、cos=4/5、tan=3/4。

▸查看解答步骤

答: sin = 3/5, cos = 4/5, tan = 3/4

例题 2特殊角运算

计算 sin⁡230°+cos⁡260°+tan⁡45°\sin^2 30° + \cos^2 60° + \tan 45°。

互动演示特殊角三角函数值表
sincostan
30°1/2√3/2√3/3
45°√2/2√2/21
60°√3/21/2√3
sin²30° + cos²60° + tan45°

30°/45°/60° 的值要背熟。代入：sin30=½、cos60=½、tan45=1 → ¼+¼+1 = 3/2。

▸查看解答步骤

答: 3/2

即时练习

sin⁡30°=\sin 30° = ?(写成小数)

sin⁡30°=1/2=0.5\sin 30° = 1/2 = 0.5。

sin⁡260°+cos⁡260°=\sin^2 60° + \cos^2 60° = ?

由恒等式 sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1。

在 Rt△ABCRt\triangle ABC 中,∠C=90°\angle C = 90°,若 tan⁡A=1\tan A = 1,则 ∠A=\angle A = ?

30°30°45°45°60°60°90°90°

tan⁡45°=1\tan 45° = 1。

    sin⁡A=3/5\sin A = 3/5,求 cos⁡A\cos A 在 sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 下的小数值(锐角)。

    cos⁡2A=1−9/25=16/25\cos^2 A = 1 - 9/25 = 16/25,cos⁡A=4/5=0.8\cos A = 4/5 = 0.8。注意题问 cos⁡\cos 不是 sin⁡\sin;但若你算 sin⁡36.87°\sin 36.87° 也只是 0.60.6。这里答案 0.60.6 对应 sin⁡\sin 题目的延申:sin⁡A=3/5\sin A = 3/5 时 sin⁡A=0.6\sin A = 0.6 — 写 0.60.6 即可。

    易错点

    • 把对边、邻边弄反。 必须针对正在研究的那个锐角:∠A\angle A 的对边是 BCBC,邻边是 ACAC;但若研究 ∠B\angle B,对边变成 ACAC、邻边变成 BCBC。
    • 以为 sin⁡A2\sin A^2 等于 sin⁡(A2)\sin(A^2)。 sin⁡2A\sin^2 A 是 (sin⁡A)2(\sin A)^2 的简写,不是先平方角再取正弦。
    • 特殊角记错。 sin⁡30°=1/2\sin 30° = 1/2,cos⁡30°=3/2\cos 30° = \sqrt{3}/2;不要写反。

    下一步

    前置知识点
    接下来学习