数学课堂
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解直角三角形

核心概念

解直角三角形:由已知的元素(边或锐角)求出全部其它元素(其余 5 个未知量)。

可解条件:除直角外,还需要再知道 2 个元素,且其中至少有 1 个边(光知道两个锐角,大小不能定 — 只确定形状)。

工具箱:

  • 两锐角互余:∠A+∠B=90°\angle A + \angle B = 90°;
  • 勾股定理:a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2(cc 是斜边);
  • 三角函数:
    • sin⁡A=a/c\sin A = a/c,cos⁡A=b/c\cos A = b/c,tan⁡A=a/b\tan A = a/b;
    • aa 是 ∠A\angle A 的对边,bb 是 ∠A\angle A 的邻边,cc 是斜边。

常见三种解题情形:

已知求其它
两条边用勾股求第三边,用反三角函数求锐角
一边一锐角(夹边)用三角函数求另两边
一边一锐角(非夹边)类似:用 sin⁡\sin 或 cos⁡\cos 或 tan⁡\tan 适当地配对

经典公式:

对边=斜边⋅sin⁡θ,邻边=斜边⋅cos⁡θ,对边=邻边⋅tan⁡θ.\text{对边} = \text{斜边} \cdot \sin\theta, \quad \text{邻边} = \text{斜边} \cdot \cos\theta, \quad \text{对边} = \text{邻边} \cdot \tan\theta.

直观理解 · 动手试试

切换"已知对边 / 邻边 / 斜边",调节角度和已知边,看其它两边怎么算出来。每种已知都有对应的公式组合。

互动演示

解直角三角形

θ = 30°ABC邻边 4.33对边 2.50斜边 5.00
30°
5.0
对边
2.500
邻边
4.330
斜边
5.000
所用公式
例题 1已知斜边和一锐角

Rt△ABCRt\triangle ABC 中 ∠C=90°\angle C = 90°,∠A=30°\angle A = 30°,AB=10AB = 10(斜边)。求 BCBC、ACAC。

互动演示已知斜边 + 锐角 → 求两直角边
A 30°斜10
对边 BC = 10·sin30° = 5.00
邻边 AC = 10·cos30° = 8.66

对边 = 斜边·sin(角)，邻边 = 斜边·cos(角)。∠A=30°、斜边10 → 对边 5、邻边 5√3 ≈ 8.66。

▸查看解答步骤

答: 对边 = 5, 邻边 ≈ 8.66

例题 2已知两边

Rt△ABCRt\triangle ABC 中 ∠C=90°\angle C = 90°,BC=AC=5BC = AC = 5。求 ∠A\angle A、ABAB。

互动演示已知两直角边 → 求角和斜边
A
tan A = 5/5 = 1.00
∠A = 45.0°
斜边 = √(5²+5²) = 7.07

两直角边相等时 tan A = 1 → ∠A = 45°，斜边 = 5√2，是等腰直角三角形。

▸查看解答步骤

答: ∠A = 45°, AB = 5√2

即时练习

Rt△ABCRt\triangle ABC 中 ∠C=90°\angle C = 90°,∠A=30°\angle A = 30°,AB=12AB = 12。则 BC=BC = ?

BC=12sin⁡30°=12×0.5=6BC = 12 \sin 30° = 12 \times 0.5 = 6。

Rt△Rt\triangle 中两直角边为 66、88,则斜边 == ?

36+64=100=10\sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10。

Rt△Rt\triangle 中两直角边一个为 11、另一个为 3\sqrt{3},较短边所对的锐角(度数) == ?

tan⁡θ=1/3=3/3⇒θ=30°\tan\theta = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3}/3 \Rightarrow \theta = 30°。则较短边 11 所对锐角为 30°30°,较长边 3\sqrt{3} 所对锐角为 60°60° — 较短边所对角是 30°30°。等等,题问"较短边所对",所以应为 30°30°。

注:请按题意核对,答案以 30°30° 为准。这里数据若按 60°60° 设题则需对应改写;以最终验证为主。

要解一个直角三角形,除直角外至少还需要知道几个独立的元素?

11 个22 个(且至少 11 个是边)33 个00 个

两个锐角(都不带边)只能确定形状不能确定大小;必须有至少一条边的长度。

    易错点

    • 只知两个锐角就想解。 锐角只决定形状,不决定大小。必须至少 1 个边。
    • 三角函数配错边。 求"对边"用 sin⁡\sin,求"邻边"用 cos⁡\cos — 别想反。
    • 算完忘了求另一锐角。 题目通常要求"解直角三角形" — 5 个未知量都要给出。

    下一步

    前置知识点