数学课堂
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图形的相似

核心概念

相似图形:形状相同、大小不一定相同的两个图形。

直观地讲,把一个图形按某个倍数整体放大或缩小,得到的就是它的相似图形。

相似的两个条件(缺一不可):

  1. 对应角相等;
  2. 对应边成比例(比值相等)。

相似比:对应边的比 kk,叫做这两个图形的相似比(也叫相似系数)。

k=新图边长原图边长k = \dfrac{\text{新图边长}}{\text{原图边长}}

特别地:

  • 当 k=1k = 1 时,两图形全等(全等是相似的特例);
  • 相似图形的对应角全部相等,对应边全部按同一比例放大/缩小。

记号:△ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C' 表示两三角形相似,且对应关系是 A↔A′A \leftrightarrow A',B↔B′B \leftrightarrow B',C↔C′C \leftrightarrow C'(顺序不能乱写!)。

直观理解 · 动手试试

拖动 kk,观察右边的 △A′B′C′\triangle A'B'C' 整体被放大或缩小,但形状一致;对应边的比一直等于 1/k1/k,对应角始终相等。

互动演示

相似 = 同形不同大 · 拖动 k

△ABC△A'B'C'ABCA'B'C'
1.5
边的比
|AB| / |A'B'| = 2.91 / 4.37 = 0.67
理论值 = 1/k = 0.67
对应角
∠A = ∠A', ∠B = ∠B', ∠C = ∠C'
相似 ⇒ 对应角全部相等
△ABC ∼ △A'B'C'
例题 1判断相似

矩形 ABCD 的长 =4= 4,宽 =2= 2;矩形 EFGH 的长 =8= 8,宽 =4= 4。两矩形相似吗?相似比是?

互动演示判断相似：对应边比值是否全相等
长4 宽2长8 宽4
长比 8/4 = 2，宽比 4/2 = 2
两比相等 → 相似，相似比 k = 2

相似要求对应角相等 + 对应边成比例。矩形角都是 90°，所以只看长宽比是否相等。把两个倍数拖成不同试试。

▸查看解答步骤

答: 是;k = 2

例题 2求对应边

已知 △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C',相似比 =3= 3。若 AC=3AC = 3,求 A′C′A'C'。

互动演示相似比 k：对应边 × k
AC = 3A′C′ = 9
A′C′ = k × AC = 3 × 3 = 9

相似三角形所有对应边都按同一比例 k 放大/缩小。相似比 3、AC=3 → A′C′ = 9。

▸查看解答步骤

答: A'C' = 9

即时练习

两个全等图形一定相似。

全等是相似比 =1= 1 的特例。

两个矩形一定相似。

矩形对应角都是 90°90°,但对应边不一定成比例(如 2×32\times3 与 4×54\times5 就不相似)。

两正方形的相似比 =3= 3,小正方形边长 =2= 2,则大正方形边长 == ?

2×3=62 \times 3 = 6。

下面一定相似的是?

任意两个矩形任意两个平行四边形任意两个等边三角形任意两个直角三角形

等边三角形所有角都是 60°60°、所有边相等,任意两个必然相似。其他选项形状不固定。

    易错点

    • 只看对应角(忽略边)或只看对应边(忽略角)。 相似需要两条件同时满足。
    • 写相似时顶点顺序写乱。 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF 默认 A↔DA \leftrightarrow D,B↔EB \leftrightarrow E,C↔FC \leftrightarrow F。顺序错,对应关系就错。
    • 以为相似就有"反过来也成立的相似比"。 若 A′B′C′A'B'C' 与 ABCABC 的相似比 =k= k,则反过来 ABCABC 与 A′B′C′A'B'C' 的相似比 =1/k= 1/k,不是 kk。

    下一步

    接下来学习